第十章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

(理)第1节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 1.分类加法计数原理，达成数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养． 2．分步乘法计数原理，达成数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养． 3．两个原理的综合应用，提升数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养. 　　预计2024年的高考将两个计数原理和排列组合结合起来考查，一般以选择题、填空题形式出现，难度不大，属中低档题型. [要点梳理] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 定义 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝　m＋n　种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m×n　种不同的方法 区别 各种方法相互　独立　，用其中任何一种方法都可以完成这件事 各个步骤中的方法互相　依存　，只有各个步骤都完成才能做完这件事 　分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终． (1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类． (2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　 ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　 ) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　 ) (4)在分步乘法计数原理中，任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　) (5)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ ◆[教材改编] 1．[P12A组T5]已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是(　　 ) A．12　　　B．8　　　C．6　　　D．4 解析：C　[分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6，故选C.] 2．[P10A组T4]已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　) A．16 B．13 C．12 D．10 解析：C　[将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3×4＝12(种)．] ◆[小题纠偏] 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(　　 ) A．30 B．20 C．10 D．6 解析：D　[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同数和为偶数可分为两类，①取出的两个数都是偶数，共有3种方法；②取出的两个数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．故选D.] 2．如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路；从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有　___　条不同的路线． 解析：不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)． 答案：32 3．(2023·泉州市模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D 4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有　________　种(用数字作答)． 解析：从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480(种)涂色方法． 答案：480 考点一　分类加法计数原理(子母变式) [母题]　(1)椭圆＋＝1(m>0，n>0)的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为(　　 ) A．10　　　B．12　　　C．20　　　D．35 (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为　________　. [解析]　(1)因为焦点在x轴上，m＞n，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类：m＝5时，使m＞n，n有4种选择；第二类：m＝4时，使m＞n，n有3种选择；第三类：m