第十一章 第2节 第2课时 不等式的证明-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第2课时　不等式的证明 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式． 2．能利用三个正数的算术平均－几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值的问题；了解基本不等式的推广形式(n个正数的形式)． 3．能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题. 1.比较法证明不等式，达成数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养． 2．用综合法、分析法证明不等式，增强数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养． 3．反证法证明不等式，增强达成逻辑推理和数学抽象的素养． 4．放缩法证明不等式提升数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养. 　　本部分是高考的重要考查内容，涉及证明不等式的多种方法，2024年高考预计考查： 1．与基本不等式相结合，证明不等式． 2．与探索性问题相结合进行考查证明． 3．与恒成立问题相结合考查证明．命题形式多种多样，一般在解答题中与函数、数列、三角函数等问题综合考查，难度中等. [要点梳理] 1．比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种 名称 作差比较法 作商比较法 理论依据 a>b⇔　a－b>0　 a<b⇔　a－b<0　 a＝b⇔　a－b＝0　 b>0，>1⇒a>b b<0，>1⇒a<b 适用类型 适用于　具有多项式　特征的不等式的证明 主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明 证明步骤 作差→变形→判断符号→得出结论 作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论 2.综合法与分析法 (1)综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立． (2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的　充分　条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立． 3．反证法与放缩法 (1)反证法：证明命题时先假设要证的命题　不成立　，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)　矛盾　的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法． (2)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值　放大　或　缩小　，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． 4．三个正数的算术—几何平均不等式及其推广 (1)定理　如果a，b，c均为正数，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)推广：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数　不小于　它们的几何平均数，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 5．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥　(ac＋bd)2　(当且仅当ac＝bd时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． (3)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． 柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R， 则＋ ≥ [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)要证明＋＜2，最合理的方法是分析法．(　　 ) (2) 用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全不为0”．(　　 ) (3) 若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.(　　 ) (4)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　　) 答案：(1)√　 (2)×　(3)√　(4)√ ◆[教材改编] 1．(P35例3)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　 ) A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8 解析：B　[因为a＞0，b＞0，且a＋b＝2，所以(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4， 所以＋≥＝2，即＋的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立)．故选B.] 2．(P21例2)若a，b，m∈R＋，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　 ) A.≥ B.> C.≤ D.< 解析：B　[因为a，b，m∈R＋，且a>b.所以－＝>0，即>，故选B.] ◆[小题纠偏] 1．设a，b∈(0，