第七章 核心素养系列4 立体几何高考中档大题的热点问题-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

4.(理科)立体几何高考中档大题的热点问题 1．立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，一至两道选择题或填空题．小题主要考查学生的空间观念，空间想象能力及简单计算能力．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算．重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力．热点题型主要有平面图形的翻折、探索性问题等； 2．思想方法：(1)转化与化归(空间问题转化为平面问题)；(2)数形结合(根据空间位置关系利用向量转化为代数运算)． ●[热点1]　空间点、线、面的位置关系及空间角的计算(规范解答)　 [例1]　 (2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1. (1)证明：BF⊥DE； (2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？ ◆[学审题]通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案． [解]　(1)因为E，F是直三棱柱ABC－A1B1C1中AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2， 所以CF＝1，BF＝，连接AF，由BF⊥A1B1且AB∥A1B1，则BF⊥AB，于是AF＝3， 所以，AC＝2，由AB2＋BC2＝AC2，则BA⊥BC，故如图所示，建立空间直角B－xyz坐标系； 于是A(2,0,0)，B(0,0,0)，C1(0,2,2)，E(1,1,0)，F(0，2,1)． 设B1D＝m，则D(m,0,2)． 于是，＝(0,2,1)，＝(1－m,1，－2)， 则·＝0，所以BF⊥DE； (2)易知平面BB1C1C的法向量为n1＝(1,0,0)； 又＝(1－m,1，－2)，＝(－1,1,1)， 设平面DEF的法向量n2＝(x，y，z)， 则则 令x＝3，则y＝m＋1，z＝2－m， 于是，平面DFE的法向量为 n2＝(3，m＋1,2－m)， 于是|cos〈n1，n2〉|＝＝， 当m＝时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的余弦值最大为，此时其正弦值最小为. ◆[防失误]　立体几何解答题是每年必考题，该题一般分2问，第1问一般考查线面位置关系的证明，第2问一般考查空间角的计算．第1问失分主要原因是步骤不规范，第2问求空间角一般用空间向量求，该问失分主要原因是运算失误． 利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：确定点的坐标； 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值)； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角； 第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范． [答题启示] (1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用． (2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范． (3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错． ◆[跟踪训练] 1．(2022·天津卷，17)直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点． (1)求证：EF∥平面ABC； (2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值； (3)求平面A1CD与平面CC1D所成二面角的余弦值． 解：(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，且AC⊥AB，则A1C1⊥A1B1 以点A1为坐标原点，A1A、A1B1、A1C1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(2,0,2)，A1(0,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,2)，D(0,1,0)，E(1,0,0)，F，则＝， 易知平面ABC的一个法向量为m＝(1,0,0)， 则·m＝0，故⊥m， ∵EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC. (2)＝(2,0,0)，＝(0,1，－2)，＝(1,2,0)， 设平面CC1D的法向量为u＝(x1，y1，z1)， 则， 取y1＝2，可得u＝(0,2,1)， cos〈，u〉＝＝. 因此，直线BE与平面CC1D夹角的正弦值为. (3)＝(2,0,2)，＝(0,1,0)， 设平面A1CD的法向量为v＝(x2，y2，z2)，则，取x2＝1，可得v＝(1,0，－1)，则cos〈u，v〉＝＝＝－， 因此，平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为. ●[热点2]　立体几何中的折叠问题　 [典例2]　如图①，正六边形ABCDEF的边长为