第七章 第7节 第2课时 求空间角和距离-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第2课时　求空间角和距离 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用． 2．能用向量法解决空间的距离问题. 1.异面直线所成角，达成数学建模和数学运算的素养． 2．直线与平面所成角，提升数学建模、数学运算和数学抽象的素养． 3．二面角，直线与平面所成角，提升数学建模、数学运算和数学抽象的素养． 4．点面距，直线与平面所成角，提升数学建模、数学运算和数学抽象的素养. 　　2024年高考预计考查： 1．空间角(线线角、线面角、面面角)． 2．空间距离． 3．探索性问题．首先建立适当的坐标系，找准点的坐标，把所有问题转化为坐标运算．主要以解答题的第二问出现，难度不大，属中档题型，但要注意运算的准确性. [要点梳理] 1．求异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 [0，π] 　　 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝　　 2.直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝，φ的取值范围是. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n1，n2〉，或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0，π]． 4．求空间的距离 (1)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为||＝. (2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　 ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　 ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　 ) (4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ ◆[教材改编] 1．[选修2－1P104T2改编]已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　) A．45°　　　　　　　　　　　 B．135° C．45°或135° D．90° 解析：C　[cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.] 2．[选修2－1P117A组T4(2)改编]如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为　________　. 解析：以C为原点建立坐标系， 得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2. 所以＝(－2,0,2)，＝，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ， 则cos θ＝＝＝. 又θ∈，所以θ＝. 答案： ◆[小题纠偏] 1.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) A．45°　　　B．60°　　　C．90°　　　D．120° 解析：B　[如图所示，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系． 设AB＝BC＝AA1＝2， ∴C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)． ∴＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)． ∴·＝2，记，所成角为θ. ∴cos θ＝＝.∴EF和BC1所成角为60°. 故选B.] 2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　 ) A. B. C. D. 解析：C　[建立 如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1，2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.] 3．在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为　________　. 解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0，