第七章 第7节 第1课时 证明空间位置关系-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

(理科)第7节　立体几何中的向量方法 第1课时　证明空间位置关系 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.理解直线的方向向量及平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 1.利用空间向量证明平行或垂直，达成直观想象、数学建模和数学运算的素养． 2．与平行、垂直有关的探索性问题，增强逻辑推理、数学运算、数学建模的素养. 　　2024年高考还是以考查空间的位置关系为主，首先建立适当的坐标系，找准点的坐标，把所有问题转化为坐标运算．主要以解答题的第一问出现，难度不大，属中低档题型，但要注意运算的准确性. [要点梳理] 1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l　平行或重合　，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方 向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔　n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔　n·m＝0　 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔　n·m＝0　 1.直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量． 2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．(　　) (3)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(　　) (4)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(　　) (5)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则a∥c，a⊥b.(　　) 答案：(1) ×　(2) ×　(3) √　(4) ×　(5) √ ◆[教材改编] 1．[选修2－1P104T2改编]设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为　__________　；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为　________　. 解析：当v＝(3，－2,2)时，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β. 当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u⇒α∥β. 答案：α⊥β　α∥β 2．[选修2－1P111T3改编]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是　________　. 解析：以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M， O，N，·＝·＝0，∴ON与AM垂直． 答案：垂直 ◆[小题纠偏] 1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　) A．2　　　B．－4　　　C．4　　　D．－2 解析：C　[因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4.] 2．(2023·桂林市模拟)已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4) 解析：A　[因为平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，所以n⊥α，又A选项中P(2,3,3)，所以＝(1,4,1)，因此有n·＝6×1＋4×(－3)＋6×1＝0，故选A. ] 3．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是　________　. 解析：如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b， 由题意知＝b－c， ＝－＝a－b＋c. 因此＝＋， ∴，，共面． 又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN. 答案：平行 考点一　利用空间向量证明平行或垂直(自主练透) [题组集训] 1．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点． 求证：MN⊥AB，MN⊥CD. 证明：设＝p，＝q，＝r. 由题意可知，|p