第七章 第6节 空间直角坐标系、空间向量及其运算-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

(理科)第6节　空间直角坐标系、空间向量及其运算 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 1.空间向量的线性运算，达成数学建模和数学抽象的素养． 2．共线、共面向量定理及应用，增强直观想象、数学建模和逻辑推理的素养． 3．空间向量的数量积及应用，提升数学运算、逻辑推理和数学运算的素养. 　　2024年高考预计考查： 1．空间向量的线性运算， 2．向量共线、共面的条件， 3．空间向量的模、夹角及数量积的应用， 4．在解答题中用到空间向量的基本运算，求空间角及距离．要求熟记公式正确运用．题型多与解答题结合出题，间或有选择题、填空题，难度一般不会太大，属中低档题型. [要点梳理] 1．空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系(如图所示)． (2)点的坐标表示 在空间直角坐标系中，任何一个点的坐标都可以用三个实数组成的有序实数组表示，这三个实数分别是点在x轴、y轴、z轴上的坐标． (3)空间两点间距离 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)为空间两点，则P1，P2两点间的距离 |P1P2|＝. 特殊情况，点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝. 2．对于空间向量的有关概念，请填写下表 名称 概念 表示 零向量 模为　0　的向量 0 单位向量 长度(模)为　1　的向量 相等向量 方向　相同　且模　相等　的向量 a＝b 相反向量 方向　相反　且模　相等　的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相　平行或重合　的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个　平面　的向量 3.空间向量的线性运算及运算律 (1)线性运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：＝＋＝a＋b；＝－＝a－(a＋b)＝－b；＝λa(λ∈R)． (2)运算律：a.加法交换律：a＋b＝b＋a； b．加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； c．数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．关于空间向量的有关定理 定理 语言描述 共线向量定理 对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在　唯一　的实数λ，使　a＝λb　 共面向量定理 如果两个向量a、b　不共线　，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在　唯一　的一对实数x，y，使　c＝xa＋yb　 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c　不共面　，那么对空间任一向量p，存在一个　唯一　的有序实数组x，y，z，使　p＝xa＋yb＋zc　 5.空间两向量的夹角及取值范围 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]．特别，若〈a，b〉＝，则称a与b垂直，记作a⊥b. 6．空间两向量的数量积及运算律 (1)空间向量数量积定义：已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 7．对于空间向量的坐标运算，请完成下表 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝　(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　 向量差 a－b＝　(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　 数量积 a·b＝　a1b1＋a2b2＋a3b3　 数乘向量 λa＝　(λa1，λa2，λa3)　 共线 a∥b(b≠0)⇔　a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3　 a∥b⇔＝＝ 垂直 a⊥b⇔　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 1．中点坐标公式：设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为. 2．点共线和点共面问题 (1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A、B、C三个点共线，即证明与共线． (2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y，或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确