第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第5节　直线、平面垂直的判定与性质 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 1.垂直关系的基本问题，达成直观想象、逻辑推理的素养． 2．直线与平面垂直的判定与性质，增强直观想象、逻辑推理和数学抽象的素养． 3．平面与平面垂直的判定与性质，增强直观想象、逻辑推理和数学抽象的素养． 4．线面角与二面角， 提升逻辑推理、数学抽象和数学运算的素养. 　　2024年高考证明垂直的题型预计有两类：1线面垂直的判定与证明，2利用线面垂直性质证明线面垂直或面面垂直，是高考重点考查内容，主要以解答题形式出现，属中低档题型．(理)证明垂直问题可以用常规法证明，也可以通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明. [要点梳理] 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的　任意　直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 一条直线与一个平面内的　两条相交直线　都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线　平行　 ⇒a∥b 2.直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的　锐角　叫做这条直线和这个平面所成的角． 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°角．因此，直线与平面所成的角的范围是　　. 3．二面角 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：如下图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点P，以点P为垂足，在半平面α，β内分别作垂直于棱l的射线PA和PB，则射线PA和PB构成的∠APB叫做二面角α－l－β的平面角． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角的取值范围是　[0，π]　.平面角是直角的二面角叫做直二面角． (3)找二面角的平面角的方法 ①垂面法：由二面角的平面角的定义知，只需作与棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角． ②平移法：先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线，然后平移到一起，两射线的夹角即二面角的平面角． 4．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是　直二面角　，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 一个平面经过另一个平面的一条　垂线　，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们　交线　的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 1.若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． 2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)l与平面α内的两条直线垂直，则直线l⊥平面α.(　　 ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　) (3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(　　) (4)当α⊥β时，直线l过α内一点且与交线垂直，则l⊥β.(　　 ) (5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[教材改编] 1．[必修2P73T1改编]下列命题中错误的是(　　 ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析：D　[对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．] 2．[必修2P67练习T2改编]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的　______　心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的　________　心． 解析： (1)如图，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，R