第七章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 1.平面的基本性质及应用，增强逻辑推理和数学抽象的素养． 2．空间两直线的位置关系，达成直观想象和逻辑推理的素养． 3．异面直线所成的角，提升直观想象、数学抽象和数学运算的素养. 　　2024年高考预计以几何体为载体，考查与点、线、面的位置关系等有关命题真假的判断、求异面直线所成的角是高考考查的重点．判断空间线面的位置关系可以用相关定理进行判断；也可以构造长方体模型来判断，还可以直接举反例来判断．题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型. [要点梳理] 1．平面的基本性质 图形 文字语言 符号语言 公理1 如果一条直线上的　两点　在一个平面内，那么这条直线在此平面内 ⇒l⊂α 公理2 过不在　同一条直线上的三点　，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们　有且只有一条　过该点的公共直线 若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a 2.空间两条直线的位置关系 位置关系的分类 共面 直线 异面直线：不同在　任何　一个平面内，　没有　公共点． 3．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相　平行　. 4．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角　相等或互补　. 5．异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的　锐角(或直角)　叫做异面直线a与b所成的角． (2)范围：. 6．空间直线、平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 　1　个 平行 a∥α 　0　个 在平面内 a⊂α 　无数　个 平面与平面 平行 α∥β 　0　个 相交 α∩β＝l 　无数　个 1．公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　) (3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) (4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (5)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(　　) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ (6)× ◆[教材改编] 1．[必修2P52B组T1(2)改编]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　 ) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° 解析：C　[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°.] 2．[必修2P45例2改编]如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件　__________　时，四边形EFGH为菱形； (2)当AC，BD满足条件　__________　时，四边形EFGH为正方形． 解析：(1)∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH，∴AC＝BD. (2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD， 且EF＝AC，EH＝BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD. 答案：(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD ◆[小题纠偏] 1．如图正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) 解析：D　[A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．] 2．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　 ) A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M 解析：D　[∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α