第六章 第7节 数学归纳法-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

(理科)第7节　数学归纳法 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 　　经过逻辑推理数学运算，提高学生的归纳推能力. 　　以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式．偶尔在高考中以解答题形式出现，属高档题. [要点梳理] 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取　第一个值n0(n0∈N*)　时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当　n＝k＋1　时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 2．数学归纳法的框图表示 　用数学归纳法证明的关键在于两个步骤，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”． (1)验证是基础：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”． (2)递推是关键：从“k”到“k＋1”的过程中，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题成立，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　 ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　 ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　　 ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　 ) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[教材改编] 1．(选修2－2P94例1改编)用数学归纳法证明：12＋22＋32＋…n2＝(n∈N*)，在第二步证明当n＝k＋1成立时，通常要将12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2最终变形为(　　 ) A.＋(k＋1)2 B. C. D. 解析：D　[用数学归纳法证明：12＋22＋32＋…n2＝(n∈N*)， 在第二步证明当n＝k＋1成立时，通常要将12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2最终变形为.] 2．(选修2－2P99B组T1改编)设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则 f(k＋1)与f(k)的关系是　______________　. 解析：当n＝k＋1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)． 答案：f(k)＋k＝f(k＋1) ◆[小题纠偏] 1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　 ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 解析：D　[f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，＝，＝，故f(2)＝＋＋.] 2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　 ) A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 解析：B　[因为假设n＝k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k＋2.] 3．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋<n(n>1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是　________　. 解析：n＝k时，左边＝1＋＋…＋， 当n＝k＋1时， 左边＝1＋＋＋…＋＋…＋. 所以左边应增加的项的项数为2k. 答案：2k 考点一　用数学归纳法证明等式(师生共研) [典例]　用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝2·1＝2. ∴左边＝右边，故当n＝1时，结论成立； (2)假设n＝k(k≥1)结论成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)， ∴(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1