第二章 第14节 定积分概念及简单应用-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

(理科)第14节　定积分概念及简单应用 [要点梳理] 1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作∫f(x)dx，即∫f(x)dx＝． 在∫f(x)dx中，　a，b　分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数　f(x)　叫做被积函数，　x　叫做积分变量，　f(x)dx　叫做被积式． (2)定积分的几何意义 f(x) f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的　曲边梯形　的面积 f(x)<0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的　相反数　 f(x)在[a，b]上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积　减去　位于x轴下方的曲边梯形的面积 2.定积分的性质 (1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)； (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx； (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)． 3．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么∫f(x)dx＝　F(b)－F(a)　.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)，即∫f(x)dx＝F(x)＝　F(b)－F(a)　. 1.定积分与曲边梯形的面积的关系：如图，设阴影部分面积为S，则 (1)S＝∫f(x)dx； (2)S＝－∫f(x)dx； (3)S＝∫f(x)dx－∫f(x)dx； (4)S＝∫f(x)dx－∫g(x)dx＝∫[f(x)－g(x)]dx. 2．变速直线运动问题 如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为∫v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－∫v(t)dt. 3．变力做功问题 物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为∫F(x)dx. 4．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则∫f(x)dx＝2∫f(x)dx. (2)若f(x)为奇函数，则∫f(x)dx＝0. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则 f(x)dx＝f(t)dt.(　　) (2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　　) (3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　) (4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(　　) (5)微积分基本定理中F(x)是唯一的．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[教材改编] 1．(选修2－2P50A5改编)定积分－1|x|dx＝(　　 ) A．1　 　 B．2　　 　　C．3　　　D．4 解析：A　[－1|x|dx＝－1(－x)dx＋xdx＝2xdx＝x2|＝1.] 2．(选修2－2P58练习改编)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为　________　. 解析：由得或 ∴所求面积为S＝∫(x－x2)dx＝|＝－＝. 答案： ◆[小题纠偏] 1．定积分∫(2x＋ex)dx的值为(　　 ) A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1 解析：C　[∫(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝1＋e1－1＝e.故选C.] 2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积S，正确的是(　　 ) A．S＝∫(4x－x3)dx B．S＝∫(x3－4x)dx C．S＝∫dy D．S＝∫dy 解析：A　[两函数图象的交点坐标是(0,0)，(2,8)，故对x积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0,2]上，4x≥x3，故直线y＝4x与曲线y＝x3所围成的封闭图形的面积S＝∫(4x－x3)dx 同理对y积分时S＝∫dy.] 3．(2023·昆明诊断)若∫x2dx＝9，则常数a的值为　________　. 解析：∫x2dx＝x3|＝－a3＝9，∴a3＝－27，a＝－3. 答案：－3 考点一　定积分的计算(师生共研) [典例]　(1)(2023·玉溪模拟)计算∫dx的值为(