第八章 第10节 第1课时 最值、范围、证明问题-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

(文科)第9节　圆锥曲线的综合问题 (理科)第10节　圆锥曲线的综合问题 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、范围问题． 2．掌握与圆锥曲线有关的定点、定值问题． 3．掌握与圆锥曲线有关的证明、探索性问题. 1.最值、范围、证明问题，增强逻辑推理、数学运算和数学抽象的素养． 2．定点、定值、探索性问题增强逻辑推理、数学运算和数学抽象的素养. 　　圆锥曲线的综合一直是高考的热点，考查知识有最值、范围、证明问题、定点、定值、探索性问题题型．以解答题形式出现，难度大，属高档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想与技巧的运用. 第1课时　最值、范围、证明问题 圆锥曲线中的最值、范围问题及证明问题是高考考查的重点与热点，最值、范围问题常常通过可以建立目标函数，通过研究函数的性质求解，也可利用三角函数有界性求解，还可以数形结合利用几何性质求解． 考点一　最值问题(师生共研) [典例]　(理科)(2022·浙江卷，21)如图，已知椭圆＋y2＝1.设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． [解]　(1)设Q(2cos θ，sin θ)是椭圆上任意一点，P(0,1)， 所以|PQ|2＝12cos2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin2θ－2sin θ＝－112≤，故P到椭圆上点的距离的最大值为； (2)设直线AB方程为：y＝kx＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立，消去y，整理得：x2＋kx－＝0 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－. 又PA方程可设为y＝x＋1， 联立，解得xC＝＝， 同理可得xD＝＝， 所以|CD|＝|xC－xD|＝ ＝2＝ 2 代入x1＋x2＝－，x1x2＝－. 化简得：|CD|＝· ①当k＜－时，＝－＞，即|CD|＞2； ②当k＞－时，记f(k)＝＝，则f′(k)＝，当－＜k＜时，f′(k)＜0，当k＞时，f′(k)＞0. 故f(k)在上单调递减，在上单调递增． 所以f(k)≥f＝ 即|CD|≥. 综上所述，当k＝时，|CD|取最小值. [典例]　(文科)(2021·全国乙卷，20)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足P＝9Q，求直线OQ斜率的最大值． [解析]　(1)在抛物线中，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，y2＝4x， (2)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F(1,0)， 则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)， 因为＝9，所以x2－x1＝9(1－x2)，y2－y1＝－9y1， 则x1＝10x2－9，y1＝10y2， 又因为点P在抛物线C上，y＝4x1，所以(10y2)2＝4(10x2－9)，则点Q的轨迹方程y2＝x－， 设直线OQ方程为y＝kx，当直线OQ和曲线y2＝x－相切时，斜率最大， 联立直线与曲线方程，得k2x2＝x－， 即k2x2－x＋＝0， 相切时，Δ＝0，即2－4k2·＝0， 解得直线OQ斜率的最大值为. [答案]　(1)y2＝4x　(2) 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、基本不等式法、配方法及导数法求解不等进行求解． ◆[跟踪训练] 　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的右焦点重合，点P为抛物线与椭圆C在第一象限内的交点，且|PF2|＝. (1)求椭圆C的方程； (2)与抛物线相切于第一象限的直线l与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值． 解：(1)抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)， 可得椭圆的c＝1，设P为(x，y)，|PF2|＝|x＋1|＝⇒x＝，由椭圆和抛物线的定义可得，2a＝4， 解得a＝2，b＝＝， 即椭圆C的方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k＞0)， 代入抛物线的方程，可得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0， 由相切的条件可得Δ＝(2km－4)2－4k2m2＝0， 化简可得km＝1， 由y＝kx＋和椭圆方程3x2＋4y2＝12， 可得