第八章 第9节 曲线与方程-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

(理科)第9节　曲线与方程 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质． 3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 1.直接法求轨迹方程，达成直观想象和数学建模的素养． 2．定义法求轨迹方程，增强直观想象和逻辑推理的素养． 3．相关点法(代入法)求轨迹方程，提升直观想象、直观想象和数学运算的素养 　　在2022年的高考中预计有三种考查形式：一是曲线方程的判断；二是轨迹方程的计算；三是在解答题中首先求轨迹方程，再进行计算．一般是选择题、填空题，也可以是解答题第一问．难度不太大，中档题型 [要点梳理] 1．曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数； (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (4)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； (5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． 3．两曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解． 若此方程组　无解　，则两曲线无交点． 1.两个条件 (1)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P0(x0，y0)在曲线上的充要条件是f(x0，y0)＝0. (2)“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件． 2．求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系． (2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合． (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　 ) (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　 ) (3)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　 ) (4)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”，则条件甲是条件乙的充要条件．(　　 ) (5)方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线．(　　) (6)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× ◆[教材改编] 1．[选修2－1教材改编]已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　 ) A．双曲线　　　　　　 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 解析：D　[由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．] 2．[选修2－1P37B组T1改编]若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为　__________　. 解析：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM，∵l1⊥l2. ∴|PM|＝|OM|， 而|PM|＝，|OM|＝. ∴＝， 化简，得x＋y－1＝0，即为所求的轨迹方程． 答案：x＋y－1＝0 ◆[小题纠偏] 1．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是(　　) 解析：C　[由题意可得x＋y＋1＝0或，它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．故选C.] 2．(2023·长春市模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　　) A．圆　　B．椭圆　　C．双