第八章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想. 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定与应用，达成直观想象和数学运算的素养． 2．根据直线与圆锥曲线的位置求参数，增强逻辑推理和数学运算的素养． 3．弦长问题与中点弦问题的研究，提升逻辑推理和数学运算的素养 4．中点弦问题提升逻辑推理和数学运算的素养. 　　直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的热点，考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称性等问题．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度不小，属中高档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用. [要点梳理] 　直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1的交点 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 　无公共点　 b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行) 　一个交点　 a≠0 Δ>0 两个　不等　的解 　两个交点　 Δ＝0 两个相等的解 　一个切点　 Δ<0 无实数解 无公共点 (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． 1.直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ ·＝·|y1－y2|＝ ·.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． 2．中点弦的重要结论 AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)． (1)斜率：k＝－. (2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－ [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判别式Δ＝0.(　　 ) (2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(　　 ) (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(　　 ) (4)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有两个公共点．(　　 ) (5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判别式Δ＝0.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[教材改编] 1．(选修2－1P69例题改编)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A.　　　B．1　　　C.　　　D. 解析：C　[如图所示， 设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1， 由抛物线的定义知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则点M到y轴的距离为|MM1|－＝ (|AA1|＋|BB1|)－＝.] 2．(选修2－1P80A组T8改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为　________　. 解析：由题意可设直线l的方程为y＝m， 代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)， 所以x1＝＝2， x2＝－2，所以|AB|＝|x1－x2|＝4≥4，即当m＝0时，|AB|有最小值4. 答案：4 ◆[小题纠偏] 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．] 2．(2020·山东卷，13)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝　________　. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又直线AB： y＝(x－1)， 由，得，3x2－10x＋3＝0，则x1＋x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝. 答案： 3．(2022·新高考Ⅱ卷，16)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为　________　. 解析：取AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得×＝－，即kOE·kAB＝－.设直线AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，令x＝0，y＝m