第八章 第7节 抛物线-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第7节　抛物线 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1.抛物线的标准方程与几何性质，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养． 2．抛物线的定义及其应用，达成直观想象和数学建模的素养． 3．直线与抛物线的位置关系，提升逻辑推理、数学抽象和数学运算的素养. 　　抛物线的定义、标准方程、几何性质近年高考命题的热点．常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇考查，考查学生的分析问题解决问题的能力．三种题型都有可能出现，选择题、填空题一般为中低档题型，解答题为中高档题．做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用. [要点梳理] 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离　相等　的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的　准线　. (2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的　距离　 图形 顶点 　O(0,0)　 对称轴 　y＝0　 　x＝0　 焦点 　F　 　F　 　F　 　F　 离心率 e＝　1　 准线方程 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　 范围 x≥0，y∈R x≤0，　y∈R　 y≥0，　x∈R　 y≤0，x∈R 开口方向 向　右　 向　左　 向　上　 向　下　 焦半径(其中P (x0，y0)) |PF|＝　x0＋　 |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝　－y0＋　 　与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据) (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． (3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切 [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　 ) (2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　 ) (3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　) (5)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　　 ) (6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ ◆[教材改编] 1．[选修2－1P69例4改编]过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　 ) A．9　　　B．8　　　C．7　　　D．6 解析：B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.] 2．[选修2－1P72T1改编]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为　________　. 解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上． 当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)， 解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x； 当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－y. 综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y. 答案：y2＝－8x或x2＝－y ◆[小题纠偏] 1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　 ) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：B　[如图所示， 抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.] 2．(2