第八章 第6节 双曲线-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第6节　双曲线 考点点击 核心素养 考情聚焦 　　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 1.双曲线的定义理解与学习，达成直观想象和数学建模的素养． 2．双曲线的标准方程的掌握，达成逻辑推理和数学运算的素养． 3．双曲线的几何性质的应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养. 　　双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考命题的热点．常与圆、椭圆、抛物线等知识交汇命题，考查学生的分析问题解决问题的能力．题型以选择题、填空题为主，一般为中低档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用. [要点梳理] 1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做　双曲线．　这两个定点叫做双曲线的　焦点　，两焦点间的距离叫做双曲线的　焦距　. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当　a<c　时，P点的轨迹是双曲线； (2)当　a＝c　时，P点的轨迹是两条　射线　； (3)当　a>c　时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：　坐标轴　 对称中心：　原点　 顶点 顶点坐标：A1　(－a,0)　， A2　(a,0)　 顶点坐标：A1　(0，－a)　，A2　(0，a)　 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈　(1，＋∞)　其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝　2a　； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝　2b　； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝　a2＋b2　(c>a>0，c>b>0) 　双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. (5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB| [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F1(0,3)，F2(0，－3)距离之差等于4的点的轨迹是双曲线．(　　 ) (2)平面内到点F1(0,3)，F2(0，－3)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线．(　　 ) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　 ) (4)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　 ) (5)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　 ) (6)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[教材改编] 1．[选修2－1P61T1改编]若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　 ) A.　　　B．5　　　C.　　　D．2 解析：A　[由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0， ∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2. ∴e2＝＝5，∴e＝.] 2．[选修2－1P62A组T6改编]经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为　________　. 解析：设双曲线的方程为－＝±1(a>0)， 把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为－＝1. 答案：－＝1 ◆[小题纠偏] 1．(2023·张掖市一模)已知双曲线－＝1的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　) A．± B．± C．± D．± 解析：C　[双曲线－＝1的实轴长为8，可得：m2＋12＝16，解得m＝2，m＝－2(舍去)．所以，双曲线的渐近线方程为：±＝0.则该双曲线的渐近线的斜率为±.故选C.] 2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　 ) A.－＝1 B.－＝1 C