第八章 第5节 椭圆-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第5节　椭圆 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1.椭圆的定义及标准方程的掌握，达成直观想象和数学建模的素养． 2．椭圆的几何性质的应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养． 3．直线与椭圆的位置关系，提升逻辑推理数学抽象和数学运算的素养. 　　椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识的综合应用是高考命题的热点，常与直线、向量、三角等知识交汇考查，考查学生的分析问题、解决问题的能力．三种题型都有可能出现，选择题、填空题一般为中低档题型，解答题为高档题．做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用. [要点梳理] 1．椭圆的定义 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做　椭圆　.这两定点叫做椭圆的　焦点　，两焦点间的距离叫做椭圆的　焦距　. 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若　a＞c　，则集合P为椭圆； (2)若　a＝c　，则集合P为线段； (3)若　a＜c　，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 性 质 范围 　－a　≤x≤　a　 　－b　≤y≤　b　 　－b　≤x≤　b　 　－a　≤y≤　a　 对称性 对称轴：　坐标轴　 对称中心：　原点　 顶点 A1　(－a,0)　，A2　(a,0)　 B1　(0，－b)　，B2　(0，b) A1　(0，－a)　，A2　(0，a) B1　(－b,0)　，B2　(b,0)　 轴 长轴A1A2的长为　2a　 短轴B1B2的长为　2b　 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈　(0,1)　 a，b，c的关系 a2＝　b2＋c2　 　椭圆的常用性质 (1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2. (3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　 ) (2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(　　 ) (3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　 ) (5)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　 ) (6)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ (6)√ ◆[教材改编] 1．[选修2－1P80T3改编]过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　　 ) A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：A　[由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的方程为＋＝1.] 2．[选修2－1P49T6改编]已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________________． 解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1， 所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝， ∴P点坐标为或. 答案：或 ◆[小题纠偏] 1．(2023·延安市模拟)方程x2＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为(　　) A．(1，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，1] C．(0,1) D．(－1,0) 解析：C　[方程x2＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，可得m∈(0,1)．故选C.] 2．(理科)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0