第八章 第3节 圆的方程-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第3节　圆的方程 考点点击 核心素养 考情聚焦 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 1.确定圆的方程，达成直观想象、数学建模和数学运算的素养． 2．与圆有关的最值，增强数学建模和数学运算的素养． 3．与圆有关的轨迹问题，提升逻辑推理和数学抽象的素养. 　　圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考中的热点．常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查．题型以选择题、填空题，有时以解答题第一题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，要合理转化，必要时借助几何意义，三角换元求解. [要点梳理] 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到　定点　的距离等于　定长　的点的轨迹叫做圆 方程 标准方程 一般方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心坐标 C(a，b) 半径 r 充要条件 　D2＋E2－4F＞0　 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在　圆外　； (2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在　圆上　； (3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在　圆内　. 1.圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程． (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b为定值，r是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中r为定值，a，b是参数． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　 ) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　) (4)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　) (5)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[教材改编] 1．[必修2P124A组T2改编]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　 ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2　 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析：D　[因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.] 2．[必修2P124A组T4改编]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为　________　. 解析：设圆心坐标为C(a,0)， ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|，即＝， 解得a＝2，所以圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝＝， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 答案：(x－2)2＋y2＝10 ◆[小题纠偏] 1．(2022·北京卷，3)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A.　　　　　　 B．－ C．1 D．－1 解析：A　[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a,0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝.] 2．(2020·全国Ⅲ卷)在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若·＝1，则点C的轨迹为(　　) A．圆　　　　　　　　　　　 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 解析：A　[以AB所在直线为x轴，中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y)，则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，·＝x2＋y2－a2＝1，所以x2＋y2＝a2＋1，即动点C的轨迹为圆．] 3．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为　________________　. 解析：将圆的方程配方，得2＋(y＋1)2＝－k2＋1，∵r2＝1－k2≤1，∴rmax＝1，此时k＝0.故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1. 答案：x2＋(y＋1)2＝1 考点一　确定圆的方程(自主练透) [题组集训] 1．已知圆E经