专题15 矩形正方形翻折模型-2022-2023学年数学八年级下学期题型模型期末培优专题练（人教版）

培优专题15 矩形、正方形翻折模型 【模型讲解】 一、折在外 ◎结论1：如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为多少？ 结论：， 【证明】矩形，沿折叠，，， ∴， ， ， ， ∴ ， ∴，， 设，则，在中， ，即， ∴，即， ∴，， ∴． 【结论2】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D’处，交AB于点F，则AF的长为多少？ 结论：AF＝FC 【证明】由折叠可知AD＝＝4，∠DCA＝ ∵四边形ABCD是矩形， ∴CDAB， ∴∠DCA＝∠CAF， ∴∠CAF＝∠FCA， ∴AF＝FC， 设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得x＝5， 即AF＝5， 二、折在里 【结论3】如图，矩形ABCD，将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上，则CE=AC－AD，CF=CD－EF 【证明】∵△AFD沿AF折叠得△AFE，∴△AFD≌△AFE ∴AE＝AD，EF＝DF， ∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF 方法总结：翻折前后的图形是全等图形，找到对应边和对应角，同时会出现角平分线，内错角之类，也会出现等腰三角形等特殊图形，求线段的长，转化为同一个直角三角形中即可求解。 1．（2023春·福建·八年级期中）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点D′处，则重叠部分的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（     ） A．是等腰三角形 B． C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D． 3．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）如图，在矩形中，将沿折叠得到，延长交边于点M，若，，则的长为（    ） A． B．8 C．6 D． 4．（2023春·江苏徐州·八年级徐州市第二十六中学校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．3.5 5．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 6．（2023春·全国·八年级期中）在四边形中，，，，P为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点B落在点E处． (1)若P为上一点． ①如图1，当点E落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点P在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 7．（2023春·广东东莞·九年级阶段练习）如图，已知矩形，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若点是的中点，，求的长． 8．（2023春·全国·八年级期中）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，求的长． 9．（2023春·湖南长沙·八年级期中）在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点． (1)如图，当点和点重合时，求证：； (2)如图，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度； (3)如图，连接，，若，求的面积． 10．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，现把矩形纸片沿对角线折叠，点 落在点处，交于点，求的长． 11．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，现有一张边长为2的正方形纸片，P为正方形的边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为EF，连接，． (1)求证： (2)当点P在边上移动时，的度数是否发生变化？请判断并证明你的结论． (3)当点P在边上移动时，的周长是否发生变化？若不变，请直接写出答案． 12．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，正方形的边长为7，点是上的一点，且，将正方形沿翻折，点落在点处，延长交于点，求的长． 13．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，将边长为12cm的正方形折叠，使A点落在边上的E点，然后压平得折痕，若的长为13cm，求线段的长． 14．（2023春·八年级课时练习）如图，已知正方形的边长，E为边上一点且长为，动点P从点B出发以每秒的速度沿射线方向运动．在点P的运动过程中，把沿折叠，点B落在点处．设运动时间为t秒． (1)当 时，为直角； (2)