专题14 十字架模型-2022-2023学年数学八年级下学期题型模型期末培优专题练（人教版）

培优专题14 十字架模型 【模型讲解】 ◎结论：正方形内部，AE⊥BF，则 AE=BF,△ABE≌△BCF . 相等未必垂直 已知在正方形ABCD中，HI⊥KJ，过点H作HP⊥CD交DC于P，作I关于HP对称点Q,虽然HQ＝HI=KJ，但HQ不垂直JK 方法总结：正方形内两条互相垂直的直线与各边的交点所得的线段，那么这两条线段相等。 证明方法往往通过证明三角形全等，如果没有，则按照上图构造两个全等三角形，结合平行四边形的性质节课得出结论 1．（2023春·八年级课时练习）如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（    ） A．2 B．2 C．6 D．5 3．（2023春·八年级课时练习）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（　　） A． B．3 C． D． 4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．（2023春·八年级课时练习）如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点，点重合）将正方形纸片折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于，折痕为，连接，.则的周长是______． 6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝____． 7．（2023春·全国·八年级专题练习）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN； 8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接、，点、、、分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$培优专题14 十字架模型 【模型讲解】 ◎结论1：正方形内部，AE⊥BF，则 AE=BF,△ABE≌△BCF . 相等未必垂直 已知在正方形ABCD中，HI⊥KJ，过点H作HP⊥CD交DC于P，作I关于HP对称点Q,虽然HQ＝HI=KJ，但HQ不垂直JK 方法总结：正方形内两条互相垂直的直线与各边的交点所得的线段，那么这两条线段相等。 证明方法往往通过证明三角形全等，如果没有，则按照上图构造两个全等三角形，结合平行四边形的性质节课得出结论 1．（2023春·八年级课时练习）如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠的性质，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解． 【详解】解：连接BP，取CD的中点M，连接PM， 由折叠可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG， 在Rt△BCG中，P是CG的中点， ∴BP＝PG＝GC， ∵Q是GH的中点， ∴QG＝GH， ∴△GPQ的周长＝PQ+QG+PG＝PM+GH+PB＝PM+PB+CD， ∵CD＝3， ∴△GPQ的周长＝PM+PB+， 当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小， 在Rt△BCM中，BM＝， ∴△GPQ的周长的最小值为. 故选B． 【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF