专题12 垂美四边形模型-2022-2023学年数学八年级下学期题型模型期末培优专题练（人教版）

培优专题12 垂美四边形 【模型讲解】 【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD 【证明】 ①∵AB²＝a²＋b² CD²＝c²＋d² ∴AB²＋CD²＝a²＋b²＋c²＋d² ∵BC²＝a² ＋ d² AD²＝ b²＋c² ∴BC²＋AD²＝a² ＋b²＋c²＋ d² ∴AB²＋CD²＝AD²＋BC². ② S四ABCD＝ BD·a＋ BD·c＝ BD(a＋c)＝ AC·BD 方法技巧：垂美四边形模型在各种资料书上还是比较多见的，大题小题都有，小题掌握住结论即可直接运用；大题掌握住结论的推理过程和垂美四边形的构造方法即可运用。 1．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 2．（2022春·山西忻州·八年级统考期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________； （4）【性质应用】如图3，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长． 3．（2021春·江西赣州·八年级统考期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探究垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形） （3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题12 垂美四边形 【模型讲解】 【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD 【证明】 ①∵AB²＝a²＋b² CD²＝c²＋d² ∴AB²＋CD²＝a²＋b²＋c²＋d² ∵BC²＝a² ＋ d² AD²＝ b²＋c² ∴BC²＋AD²＝a² ＋b²＋c²＋ d² ∴AB²＋CD²＝AD²＋BC². ② S四ABCD＝ BD·a＋ BD·c＝ BD(a＋c)＝ AC·BD 方法技巧：垂美四边形模型在各种资料书上还是比较多见的，大题小题都有，小题掌握住结论即可直接运用；大题掌握住结论的推理过程和垂美四边形的构造方法即可运用。 1．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 2．（2022春·山西忻州·八年级统考期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________； （4）【性质应用】如图3，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长． 【答案】（1）③④；（2）