专题08 赵爽弦图模型-2022-2023学年数学八年级下学期题型模型期末培优专题练（人教版）

培优专题08 赵爽弦图模型 【模型讲解】 ◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，则四边形EHGF是正方形. ◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB， 则四边形ORQP是正方形. ◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB， 则: （1）S正方形 =4S 十S正方形; （2）S正方形 =4S十S正方形; （3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形. （4）2S正方形=S正方形十S正方形 注：常见的勾股数组合 ①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15; 1．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（    ） A．121 B．144 C．169 D．196 3．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则的值（   ） A． B． C． D． 4．（2021秋·贵州六盘水·八年级统考阶段练习）如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝1，AH＝3，那么AB等于（    ） A．4 B．5 C．9 D．10 5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2=25，②a－b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 6．（2023春·全国·八年级专题练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，斜边长为． (1)结合图①，求证：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，．求该图形的面积． 7．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 （1）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 8．（2023春·全国·八年级专题练习）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）． (1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：　 　； (2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论； (3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示） 9．（2020秋·广东佛山·八年级统考期中）我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大