精品解析：湖南省长沙市第一中学2023届高三下学期模拟考试（一）数学试题

长沙市一中2023模拟试卷（一）数学 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高（如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得．由此可以算得地球的半径（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的局部图象如图所示，则的解析式可以是（ ） A. B. C D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若存在，当时，，则函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 7. 设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，已知锐二面角的大小为，，，，，，，C，D为AB，MN的中点，若，记AN，CD与半平面所成角分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人” ．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：中位数为2，众数为3； 乙地：平均数为2，方差为3； 丙地：平均数为3，极差为5； 丁地：平均数为5，众数为6． 则一定没有发生大规模群体感染的是（ ） A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为 B. 双曲线C的方程为 C. 为定值 D. 存在点P，使得 11. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则下列各选项正确的是（ ） A. 球与圆柱的体积之比为 B. 四面体体积的取值范围为 C. 平面截得球的截面面积最小值为 D. 若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 12. 定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在上满足阶李普希兹条件. B. 若函数在上满足一阶李普希兹条件，则的最小值为2. C. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解. D. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则存在满足条件的函数，存在，使得. 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为__________. 14. “以直代曲”是微积分中最基本､最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线.曲线在点处的切线方程为__________，利用上述“切线近似代替曲线”的思想方法计算所得结果为__________（结果用分数表示）. 15. 已知是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且.若坐标原点到直线的距离为3，则椭圆的标准方程为__________. 16. 已知实数，，满足，（其中为自然对数的底数），则的最小值是______. 四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 数列中，，. （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 在中，内角对边分别为，且满足. （1）求的大小； （2）若的面积为，且，求的最小值. 19. 如图1，四边形为直角梯形，，，，，，为线段上一点，满足，为的中点，现将梯形沿折叠（如图2），使平面平面. （1）求证：平面平面； （2）能否在线段上找到一点（端点除外）使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若