第12讲 指数与指数函数-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第12讲 指数与指数函数 一、指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 值域 性质 [常用结论] 二、指数函数图象的画法 1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 1、【2020年新课标2卷理科】若，则（       ） A． B． C． D． 2、【2020年新课标3卷理科】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 3、【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （       ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 4、【2018年新课标1卷文科】设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 5、【2022年全国甲卷】函数在区间的图象大致为（       ） A． B． C． D． 1、已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．c<a<b 2、若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　) A．a>1，b>1 B．a>1,0<b<1 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 3、函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是(　　) A.或 B.或2 C. D．2 4、 (多选)下列结论中，正确的是(　　) A. 函数y＝2x-1是指数函数 B. 函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是[1，＋∞) C. 若am>an(a>0，a≠1)，则m>n D. 函数f(x)＝ax-2－3(a>0，a≠1)的图象必过点(2，－2) 4. 化简的结果是________. 考向一 化简下列各式： (1) ； (2) ； (3) . 考向二 指数函数的性质与应用 例2、（1）．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0．53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c． （2）．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ） A．3 B． C．-5 D．3或． （3）．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________． 变式1、过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________． 变式2、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是 变式3、已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. (1) 当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域； (2) 若关于x的方程f(x)＝0有解，求实数a的取值范围． 考向三 指数函数的综合运用 例3、已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R). (1) 若f(x)为奇函数，求λ的值和