专题10 最值模型之胡不归-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

10最值模型之胡不归 “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。 1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理(见专题08); 2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。 此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。 (1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； (2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题（见专题11）。 胡不归： 【模型建立】 如图1： P是直线BC上的一动点，求PA+k·PB的最小值。 【作法】 1、 作 ∠ CBE=α，使sinα =k,则PD=k·OP（图2） 2、 当AD最短，AD ⊥ BE时，则P为要求点。(图3) AD长即为PA+k·PB的最小值. 简记: 胡不归,正弦作个角,作高求长即可. 特别提醒：当k＞1时， 【典例1】∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MDOD的最小值．图2 图3 思路引领：作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′，当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长， 答案详解：如图， 作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′， ∴CD′OD′ 所以当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D） MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长， ∴在Rt△OCM中，∠OMC＝30°，OM＝2 ∴OC＝1， ∴CM． 答：MDOD的最小值为． 【典例2】（1）【问题探究】 如图1，点E是等边△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EFAE，并说明理由； （2）【问题解决】 如图2，在△ACD中，CO⊥AD，垂足为O，若AD，AC＝2，OC，点P在OC上，求DPPC的最小值． （3）【问题拓展】 如图3，△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求的最小值． 思路引领：（1）作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求，根据等边三角形的性质得出∠BAD＝30°，根据30°角的直角三角形的性质得出EFAE； （2）过点P作PH⊥AC于点H，连接DP，根据题意推出△ACO∽△PCH，根据相似三角形的性质进而得出PHPC，则DPPC的值即为DP+PH的值，由垂线段最短即可解决问题； （3）作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DHBD，推出CDBD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题． 答案详解：解：（1）如图1，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求． 理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点， ∴∠BAD＝30°， ∵EF⊥AB， ∴EFAE； （2）如图2，过点P作PH⊥AC于点H，连接DP， ∵CO⊥AD， ∴∠COA＝∠CHP＝90°， 又∵∠OCA＝∠HCP， ∴△ACO∽△PCH， ∴， ∵AC＝2，OC， ∴OA1， ∴PHPC， ∴DPPC的值即为DP+PH的值， ∵DP+PH≥DM， ∴DP+PH的最小值为DM的值， ∵•AC•DM•AD•OC，AD，AC＝2，OC， ∴DM， ∴DP+PH的最小值为， 即DPPC的最小值； （3）如图3，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M． ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∵tanA2，设AE＝a，BE＝2a， 则有：100＝a2+4a2， ∴a2＝20， ∴a＝2或﹣2（舍去）， ∴BE＝2a＝4， ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB， ∵•AB•CM•AC•BE，AB＝AC， ∴CM＝BE＝4， ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴sin∠DBH， ∴DHBD， ∴CDBD＝CD+DH， ∵CD+DH≥CM， ∴CDBD≥4， ∴CDBD的最小值为4． 实战训练 一．选择题（共8小题） 1．如图，在△ABC中，P为平面内的一点，连接AP、PB、PC，若∠ACB＝30°，AC＝8，BC＝10，则4PA+2PB+2PC的最小值是（　　） A．4 B．36 C．426 D．1610 2．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（　　） A．24 B．25 C．30 D．36 4．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个