第一章 第5节　二次函数与一元二次方程、不等式-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第5节　二次函数与一元二次方程、不等式 考向预测 核心素养 与二次函数相结合考查一元二次方程、不等式的解法，单独考查较少，中低档难度． 逻辑推理、数学运算 [对应学生用书P15] 1．一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集 (1)当a＞0时，解集为____． (2)当a＜0时，解集为____． 2．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个相异实根 x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根 x1＝x2＝－ 没有实 数根 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 __{x|x<x1__ __或x>x2}__ ____ __R__ 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 __{x|x1<x<x2}__ __∅__ __∅__ 1．分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)不等式ax2＋bx＋c＜0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P55习题2.3T1(3)改编)不等式x2－3x－10＜0的解集为________． 解析　由x2－3x－10＜0得(x＋2)(x－5)＜0，所以－2＜x＜5. 答案　(－2，5) 2．(人A必修第一册P55习题2.3T3改编)不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________． 解析　由－x2－3x＋4＞0可得，(x＋4)(x－1)＜0，得－4＜x＜1. 答案　(－4，1) 三、走出误区 1．(易错题)对于任意实数x，一元二次不等式mx2＋mx－1＜0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析　由题可得解得－4＜m＜0.所以m的取值范围是(－4，0). 答案　(－4，0) 2．(活用结论)“(x－1)(x＋2)＞0”是“＞0”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　∵“(x－1)(x＋2)＞0”⇔“＞0”， ∴“(x－1)(x＋2)＞0”是“＞0”的充要条件． 答案　C [对应学生用书P16] 考点1　不含参的一元二次不等式解法(题组练透) 1．不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为(　　) A． B． C．(－∞，－1)∪ D．∪(1，＋∞) 解析　－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0， 即(x＋1)(2x－3)＞0，∴x＜－1或x＞. 答案　C 2．(2021·上海卷) 不等式＜1的解集为____________． 解析　＜1，即－1＜0，即＜0， 解得－7＜x＜2，因此不等式的解集为(－7，2). 答案　(－7，2) [练后悟通] 解一元二次不等式的方法和步骤 考点2　含参的一元二次不等式的解法(师生共研) 　解关于x的不等式ax2＋2x－a＋2>0. [解析]　关于x的不等式ax2＋2x－a＋2>0， 可化为>0. (1)当a＝0时，2>0，解得. (2)当a>0，所以>0. 所以方程＝0的两根为－1和， 当－1<，即a>1时，不等式的解集为，当－1＝， 即a＝1时，不等式的解集为. 当－1>，即0<a<1时，不等式的解集为或x>－1}． (3)当a<0时，<0. 因为方程＝0的两根为－1和，又因为＝1－>1，所以－1<. 即不等式<0的解集是， 综上所述，当a<0时， 不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为； 当0<a<1时， 不等式的解集为或x>－1}； 当a＝1时，不等式的解集为， 当a>1时， 不等式的解集为. [解题策略] 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式； (2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程