第一章 第4节　基本不等式-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第4节　基本不等式 考向预测 核心素养 本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，中高档难度． 逻辑推理、数学运算 [对应学生用书P12] 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时取等号． (3)其中____称为正数a，b的算术平均数，____称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当__x＝y__时，x＋y有最小值是__2__．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当__x＝y__时，xy有最大值是____．(简记：和定积最大) [微提醒]　应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错． 几个重要的不等式 1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 2．ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 3.≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 4.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)ab≤成立的条件是ab＞0.(　　) (3)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) (4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P46例3改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　　　　　　　 B．77 C．81 D．82 解析　因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 答案　C 2．(人A必修第一册P46例3(2)改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 解析　设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号． 答案　25 m2 三、走出误区 1．(易错题)若x＜0，则x＋(　　) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 解析　因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2. 答案　D 2．(活用结论)设0＜x＜1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为________． 解析　y＝2x(1－x)≤2＝. 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立． 答案　 [对应学生用书P13] 考点1　利用基本不等式求最值(多维研析) 技法一　配凑法求最值 　(多选)下列说法正确的有(　　) A．若x<，则2x＋的最大值是－1 B．若x>－2，则≥4 C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2 D．若x<1，则有最大值－5 [解析]　对于A：因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值为－1，故A正确； 对于B：因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2时取等号，故B正确； 对于C：因为x>0，y>0，所以x·2y≤，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误； 对于D：＝＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立．故D正确． [答案]　ABD [解题策略] 利用拼凑法求最值的技巧 拼凑法就是将相关代数式进行适当变形，通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． [提醒]　注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件． 技法二　常数代换法求最值 　(2022·红桥一模)设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．6　　　　　　　 B．9 C．3 D．18 [解析]　∵a>0，b>1，且a＋b＝2， ∴b－1>0且a＋(b－1)＝1， ∴＋＝[a＋(b－1)] ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝， 即a＝且b＝时取等号， 故＋的最小值为9.故选B. [答案]　B [解题策略] 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变