第四章 第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 考向预测 核心素养 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变换的技能以及基本的运算能力． 数学运算、逻辑推理 [对应学生用书P77] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：__sin2x＋cos2x＝1__． (2)商数关系：tan x＝____. 2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α __－sin_α__ __－sin_α__ __sin_α__ __cos_α__ __cos_α__ 余弦 cos α __－cos_α__ __cos_α__ __－cos_α__ __sin_α__ __－sin_α__ 正切 tan α __tan_α__ __－tan_α__ __－tan_α__ 1．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． 2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. (3)sin2α＝＝； cos2α＝＝. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　) (3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) (4)若cos (nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P185习题5.2 T6(2)改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． 解析　因为α是第二象限角，所以cos α＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝－＝－. 答案　A 2．(人A必修第一册P195习题5.3 T8改编)已知sin ＝，则cos ＝________________；sin ＝________． 解析　因为＋＝，所以cos ＝cos ＝sin ＝. sin ＝sin ＝sin ＝. 答案　　 三、走出误区 1．(易错题)已知cos (π＋α)＝，则tan α＝(　　) A．　　　　　　　 B． C．± D．± 解析　因为cos (π＋α)＝，所以cos α＝－， 则α为第二或第三象限角， 所以sin α＝±＝±. 所以tan α＝＝＝±. 答案　C 2．(活用结论)已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝____________． 解析　因为sin α＋cos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，即sin αcos α＝－. 答案　－ [对应学生用书P78] 考点1　同角三角函数的基本关系式(多维研析) 角度一　“弦”“切”互化 　(1)(2022·攀枝花三模)已知α∈，cos ＝，则tan α＝(　　) A．－　　　　　　　 B． C．－ D． (2)(2022·安康市三模)已知tan θ＝，则＝(　　) A．6 B． C． D．2 [解析]　(1)由已知条件得cos ＝－sin α＝，即sin α＝－，∵α∈，∴cos α＝＝＝，∴tan α＝＝＝－，故选A. (2)＝＝ ＝＝＝＝. [答案]　(1)A　(2)C [解题策略] 1．(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)形如，a sin2x＋b sin x cos x＋c cos2x等类型可进行弦化切． 2．注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 角度二　“和”“积”转换 　(2022·唐山三模)若sin α＋cos α＝，则tan α＋＝________． [解析]　因为sin α＋cos α＝，两边同时平方得2＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝，因此tan α＋＝＋＝＝＝4. [答案]　4 [解题策略] 应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这