第三章 第1节　导数的概念及其意义、导数的运算-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第1节　导数的概念及其意义、导数的运算 考向预测 核心素养 导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型大多为选择题、填空题或解答题的第(1)问，中低档难度． 数学抽象、数学运算、直观想象 [对应学生用书P55] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率_____＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝_____． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的__切线的斜率__(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为__y－y0＝f′(x0)(x－x0)__． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝____为f(x)的导函数． [微提醒]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0__ f(x)＝xα(α∈R且α≠0) f′(x)＝__αxα－1__ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__ f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝__ax_ln_a__ f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝logax(x＞0，a＞0且a≠1) f′(x)＝____ f(x)＝ln x(x＞0) f′(x)＝____ 3．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__； (2)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__； (3)′＝____(g(x)≠0). 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x). 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)求f′(x0)时，必须先求f(x0)，再求f′(x0).(　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 二、教考衔接 1．(人A选择性必修第二册P62练习T3改编)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3　　　　　　　 B．3 C．6 D．－6 解析　由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝ (－3Δt－6)＝－6. 答案　D 2．(人A选择性必修第二册P81习题5.2 T4(2)改编)曲线y＝x ln x在点(1，0)处的切线方程为________． 答案　y＝x－1 三、走出误区 1．(易错题)过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为____________________． 解析　函数y＝(x－1)3的导数为y′＝3(x－1)2， 设过原点的切线的切点坐标为(x0，(x0－1)3)，则切线的斜率为k＝＝3(x0－1)2. ∵切线过原点(0，0)，∴k＝3(x0－1)2＝，解得x0＝1或x0＝－， 则切点坐标为(1，0)或，对应的斜率k＝0或k＝，∴对应的切线方程为y＝0或y＋＝，即y＝0或27x－4y＝0. 答案　y＝0或27x－4y＝0 2．(活用结论)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析　f(3)－f(2)可写为，表示过点(2，f(2))，(3，f(3))连线的斜率，f′(2)，f′(3)分别表示曲线f(x)在点(2，f(2))，(3，f(3))处切线的斜率，设过点(2，f(2))，(3，f(3))的直线为m，曲线在点(2，f(