第六章 第2节　等差数列-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第2节　等差数列 考向预测 核心素养 等差数列的基本运算、性质，等差数列的证明是考查的热点．选择、填空题难度较低．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，中等难度． 数学抽象、逻辑推理、数学运算 [对应学生用书P123] 1．等差数列的有关概念 (1)定义 ①文字语言：一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的__差__都等于__同__一个常数； ②符号语言：__an＋1－an＝d__(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则__A__叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a1＋(n－1)d__． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋__(n－m)d__(n，m∈N*). (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__ak＋al＝am＋an__． (3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为__2d__． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 1．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0. 2．两个常用结论 (1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； ②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教考衔接 1．(人A选择性必修第二册P15练习T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a10＝(　　) A．18　　　　　　　　　 B．16 C．20 D．17 解析　因为a4＋a8＝2a6＝20，所以a6＝10.又a7＝12，所以d＝2，所以a10＝a7＋3d＝12＋6＝18. 答案　A 2．(人A选择性必修第二册P21例6改编)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________． 解析　由已知可得解得 所以S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126. 答案　126 三、走出误区 1．(易错题)已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，且a1＝2，则a7＝________． 解析　由an＋1＋an＝4n－3得，an＋an－1＝4n－7(n≥2)，两式相减得an＋1－an－1＝4(n≥2). 由等差数列的定义知，数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列． 即a7＝a1＋×4＝14. 答案　14 2．(活用结论)(2022·济南模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝28，则a2＋a3＋a7的值为____________． 解析　由等差数列的性质知a1＋a7＝2a4，a2＋a3＝a1＋a4，得S7＝＝7a4＝28，所以a4＝4，则a2＋a3＋a7＝a1＋a4＋a7＝3a4＝12. 答案　12 [对应学生用书P124] 考点1　等差数列的基本运算(题组练透) 1．(2022·广州三模)中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是(　　) A．174斤　　　　　　　 B．184斤 C．191斤 D．201斤 解析　用a1，a2，…，a8表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a1＋×17＝996，解得a1＝65.∴a8＝65