第二章 第7节　函数的图象-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第7节　函数的图象 考向预测 核心素养 考查函数图象的辨析、函数图象和函数性质的综合应用、利用图象解方程或不等式，各种题型都可能出现，中档难度． 直观想象、逻辑推理 [对应学生用书P43] 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是：列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝__－f(x)__． ②y＝f(x)y＝__f(－x)__． ③y＝f(x)y＝__－f(－x)__． ④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝__logax(x＞0)__． (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝__|f(x)|__； ②y＝f(x)y＝__f(|x|)__． (4)伸缩变换 ①y＝f(x) ＝__f(ax)__． ②y＝f(x) y＝__af(x)__． [微提醒]　(1)函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度，其中是把x变成x－. (2)要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别． 1．函数图象平移变换的八字方针 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 2．函数图象自身的轴对称 (1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x). (3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 3．函数图象自身的中心对称 (1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x). (3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x). 4．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)； (2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．(　　) (2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(　　) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P85练习T1改编)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是(　　) A．y＝f(|x|)　　　 B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|) 解析　因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|).故选C. 答案　C 2．(人A必修第一册P87T3改编)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数f(x)＝的图象大致是(　　) 解析　由定义域为{x|x≠0}，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A、C；而f(1)＝<f(3)＝，故f(x)在(0，＋∞)上不递减，排除B. 答案　D 三、走出误区 1．(易错题)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象． 解析　y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1，故所得函数为y＝f(－x＋1). 答案　y＝f(－x＋1) 2．(活用结论)函数y＝f(－2－x)与y＝f(x＋2)的图象关于直线________对称． 解析　由－2－x＝x＋2，则x＝－2，所以函数y＝f(－2－x)与y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称． 答案　x＝－2 [对应学生用书P45] 考