第八章 第7节　直线和椭圆、双曲线-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第7节　直线和椭圆、双曲线 考向预测 核心素养 直线与椭圆、双曲线是高考的必考内容之一，既有解答题，也有小题，是解决两种曲线综合问题的基础． 直观想象、数学运算 [对应学生用书P196] 1．直线与椭圆、双曲线位置关系的判定 (1)代数法：把曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1的交点 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) __无公共点__ b≠0 有一解(含l与双曲线的渐近线平行) __一个交点__ a≠0 Δ＞0 两个__不相等__的解 __两个交点__ Δ＝0 两个相等的解 __一个交点__ Δ＜0 无实数解 __无交点__ (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与两种曲线的位置关系． 2．直线与椭圆、双曲线相交时的弦长问题 设斜率为k(k≠0)的直线l与曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝ . 椭圆、双曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表： 曲线方程 直线斜率 椭圆：＋＝1(a＞b＞0) k＝－ 双曲线：－＝1(a＞0，b＞0) k＝ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(　　) (2)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(　　) (3)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(　　) (4)过点(2，4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、教考衔接 1．(人A选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝2x－1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 解析　∵＋＝＜1，∴(0，－1)在椭圆内，∵y＝2x－1恒过点(0，－1)，∴直线y＝2x－1与椭圆＋＝1相交．故选A. 答案　A 2．(人A选择性必修第一册P126例3改编)经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是(　　) A． B． C．2 D．7 解析　双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4，0)，经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－4)，代入x2－y2＝8，整理可得3x2－32x＋72＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝24，∴直线被双曲线截得的线段的长是·＝，故选B. 答案　B 三、走出误区 1．(易错题)直线l：y＝x＋3与双曲线－＝1交点的个数为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析　由于直线l：y＝x＋3过(0，3)，双曲线－＝1的渐近线y＝x的斜率＞1，故直线l仅与双曲线－＝1的上支有两个交点，如图所示．故选C. 答案　C 2．(活用结论)椭圆＋＝1与直线y＝1－x交于A、B两点，过原点与线段AB中点M的直线的斜率为，则的值为________． 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，结合题意，由点差法得，＝－·＝－·＝－1，∴＝. 答案　 [对应学生用书P197] 考点1　直线与椭圆、双曲线的位置关系(师生共研) 　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． [解析]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点． [解题策略] 1．判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). (1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0