第八章 第3节　圆的方程-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第3节　圆的方程 考向预测 核心素养 以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现． 直观想象、数学运算 [对应学生用书P180] 1．圆的定义与方程 定义 平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的轨迹叫做圆 方程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心为__(a，b)__ 半径为__r__ 一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：__D2＋E2－4F＞0__ 圆心坐标：____ 半径r＝_____ [微提醒]　对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件． 2．点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在__圆外__，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在__圆上__，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在__圆内__，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　) (2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　) (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教考衔接 1．(人A选择性必修第一册P85 T1改编)圆心在y轴上，半径为1 ，且过点(1，2) 的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－2)2＋(y－3)2＝1 解析　设圆心坐标为 (0，b)，则由题意知 ＝1，解得b＝2, 故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 答案　A 2．(人A选择性必修第一册P89 T8改编)点A为圆x2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝4　　　 B．x2＋y2＝5 C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝5 解析　因为点A为圆x2＋y2＝4上的动点，所以＝2， 因为PA是圆的切线，所以OA⊥PA，所以2＋2＝2， 设点P(x，y)，因为＝1，则x2＋y2＝5，所以点P的轨迹方程是x2＋y2＝5，故选B. 答案　B 三、走出误区 1．(易错题)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________． 解析　将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋(y－1)2＝－2.由其表示圆可得－2＞0，解得m＜－2或m＞2. 答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞) 2．(活用结论)设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　) A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8 C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8 解析　以A(2，－1)，B(4，1)为直径的圆的方程为(x－2)·(x－4)＋(y＋1)(y－1)＝0.所以所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2，故选A. 答案　A [对应学生用书P181] 考点1　圆的方程(题组练透) 1．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________． 解析　解法一　因为点(3，0)和(0，1)的中点为，且过点(3，0)和(0，1)的直线的斜率为k＝－，所以点(3，0)和(0，1)的垂直平分线方程为y＝3x－4， 联立方程解得圆心M(1，－1). 又r2＝(3－1)2＋12＝5， 所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 解法二　设圆心M(a，1－2a)，则r2＝(a－3)2＋(1－2a)2＝(a－0)2＋(1－2a－1)2，解得a＝1. 从而得⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5 2．(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_________________． 解析　设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，