第八章 第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考向预测 核心素养 直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查． 直观想象、数学运算 [对应学生用书P174] 1．直线的倾斜角 (1)定义 (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：__[0，π)__． 2．直线的斜率 条件 公式 直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2 k＝____ 直线的倾斜角θ，则θ≠90° k＝__tan_θ__ 直线的一个方向向量坐标为(x，y)且x≠0 k＝____ 直线Ax＋By＋C＝0(B≠0) k＝__－__ 3．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 __y＝kx＋b__ 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 __y－y0＝k(x－x0)__ 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点 __＝__ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 __＋＝1__ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 1．特殊直线的方程 (1)过点P(x1，y1)，垂直于x轴的直线方程为x＝x1； (2)过点P(x1，y1)，垂直于y轴的直线方程为y＝y1； (3)y轴的方程为x＝0； (4)x轴的方程为y＝0. 2．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k 0 k＞0 不存在 k＜0 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　) (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教考衔接 1．(人A选择性必修第一册P60例1改编)经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________． 答案　x－y－5＝0 2．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________． 解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0. 答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0 三、走出误区 1．(易错题)若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________． 解析　当α∈时，k＝tan α∈； 当α∈时，k＝tan α∈[－，0). 综上可得k∈[－，0)∪. 答案　[－，0)∪ 2．(活用结论)直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋a＝0的斜率为(　　) A．　　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析　cos 150°＝－，sin 30°＝， 所以k＝－＝. 答案　A [对应学生用书P175] 考点1　直线的倾斜角与斜率(典例迁移) 　(1)直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，π)　　　　　 B．∪ C． D．∪ (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为____________． [解析]　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B. (2)如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞). [答案]　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞) [解题策略] 1．求倾斜角的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 求倾斜角时要注意斜率是否存在． 2．斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率； (2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率． 1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 解析　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0. 直线l2与l3的倾斜角α2与