压轴题08二次函数与面积最值定值问题（六大类型）-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题08二次函数与面积最值定值问题（六大类型） 题型一： 二次函数与三角形面积最值问题 例1．如图，已知抛物线ybx过点A（﹣4，0）、顶点为B，一次函数yx+2的图象交y轴于M，对称轴与x轴交于点H． （1）求抛物线的表达式； （2）已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N． ①若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标； ②请直接写出△MHN面积的最大值． 题型二： 二次函数与三角形面积等积问题 例2．如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴． （1）求直线AB的解析式； （2）求过B，C两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式； （3）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系； （4）若点M是抛物线上的动点，当△ABM的面积与△ABC的面积相等时，求点M的坐标． 题型三： 二次函数与四边形面积最值问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知A（3，0），该抛物线的对称轴为直线x＝1． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求点B、C的坐标； （3）将线段BC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上，若将点B、C平移后的对应点分别记为点D、E，求以B、C、D、E为顶点的四边形面积的最大值． 题型四： 二次函数与面积分割问题 例4．已知抛物线y＝x2+4mx+4m2﹣4m﹣3的顶点C在定直线l上． （1）求C点的坐标（用含m的式子表示）； （2）求证：不论m为何值，抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值； （3）当抛物线的顶点C在y轴上，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）时，是否存在直线n满足以下三个条件： ①n与抛物线相交于点M，N（点M在点N的左侧），且与线段AC交于点P； ②∠APN＝2∠ACO； ③n将△ABC的面积分成1：2的两部分．若存在，求出直线n的解析式；若不存在，请说明理由． 题型五： 二次函数与面积比问题 例5．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（3，0），B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD． （1）填空：b＝　 　； （2）将△AOC平移到△EFG（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标； （3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT与△CPT的面积之比． 题型六： 函数关系与面积问题 例6．平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数，m≠±1）与轴交于定点A及另一点B，与y轴交于点C． （1）当点（2，2）在抛物线上时，求抛物线解析式及点A，B，C的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标； （3）若点P是抛物线的顶点，令△ACP的面积为S， ①直接写出S关于m的解析式及m的取值范围； ②当时，直接写出m的取值范围． 一、解答题 1．（2023春·全国·九年级专题练习）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积有最大值，面积最大值是多少？ 2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴交于    与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接    ． (1)求该抛物线的解析式； (2)当与的面积之比为1：2时，求点P的坐标； 3．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当，的面积为时，求出点M与点N的坐标； 4．（2023·广西贵港·统考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点．P是抛物线上一点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式； (2)若面积是面积的倍，求点的坐标； (3)如图，交于点，交于点D．记，的面积分别为，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 5．（2023·新疆克孜勒苏·统考一模）如图所示，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结． (1)求抛物线顶点D的坐标； (2)在直线上方的抛物线上有一点M，使得