压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型） 题型一： 二次函数与平行四边形存在性问题 例1．（2023•泽州县一模）综合与探究． 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求二次函数的表达式和点B的坐标． （2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标． （3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二：二次函数与矩形存在性问题 例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三: 二次函数与菱形存在性问题 例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B（4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的最大值时，求此时点P的坐标和的最大值； （3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 题型四: 二次函数与正方形存在性问题 例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）． （1）求c的值； （2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD． ①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值； ②当点C在抛物线上时，求m的值； ③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围． 一．解答题（共20小题） 1．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）分别求点A、B的坐标； （2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式； （3）当时，一次函数的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标． 2．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）． （1）求二次函数的解析式及点C的坐标． （2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥CD，交CD于点F，求的最大值及此时点E的坐标． （3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程． 3．（2023•武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的解析式； （2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由； （3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 4．（2023春•承德县月考）已知二次函数与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． 发现：点A的坐标为 　 　，求出直线BC的解析式； 拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标； 探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m（0＜m＜8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？ 5．（2023春•梅江