压轴题05二次函数与三角形存在性问题（与等腰、直角、等腰直角三角形、相似）-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题05二次函数与三角形存在性问题 （与等腰、直角、等腰直角三角形、相似三角形） 题型一：二次函数与等腰三角形存在性问题 例1．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：∠BOF＝∠BDF； （3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长． 题型二：二次函数与直角三角形存在性问题 例2．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC． （1）求线段AC的长； （2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标； （3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 题型三：二次函数与等腰直角三角形存在性问题 例3．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四：二次函数与相似三角形存在性问题 例4．（2023•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC、AC． （1）求二次函数的函数表达式； （2）设二次函数的图象的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值； （3）若点M在线段AB上（不与A、B重合），点N在线段BC上（不与B、C重合），是否存在△CMN与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 一．解答题（共20小题） 1．（2023•绥宁县模拟）如图，一次函数yx+2与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线x． （1）求该二次函数表达式； （2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在对称轴上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023•泗阳县校级一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求函数表达式及顶点坐标； （2）连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH＝2HQ时，求点P的坐标； （3）是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． （1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标． 4．（2023•崂山区开学）如图1，已知二次函数y＝ax2x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4）．与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y＝ax2x+c（a≠0）的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标； （4）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标． 5．（2023•泰山区校级一模）已知二次函数y＝ax2x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）求出二次函数表达式； （