2.2 基本不等式（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

2.2 基本不等式（精讲） 一．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 二．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 三．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 1． 基本不等式求最值满足条件 利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”. (1)“一正”就是各项必须为正数. (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值. (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值. 二．利用基本不等式求最值常见形式与方法 （1）配凑法 ①形如(其中f(x)是二次函数,g(x)是一次函数)的最值,常见分子中的自变量变形为分母的形式后,构造满足基本不等式的条件求最值. ②配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. （2）常值代换法 已知形如或可化为x+y=t(t为常数),求+的最值以及形如或可化为+=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将+看作是(+)·或cx+dy看作是cx+dy=(cx+dy)·(+),变形后利用基本不等式求最值. （3）消元法 对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度三”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围. 三．恒（能）成立含参数的问题 ①分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解 4． 利用基本不等式求解实际问题 (1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式变形利用基本不等式求得函数的最值. (2)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考法一 直接法求最值 【例1-1】（2023广西）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．2 D．4 【例1-2】（2022·北京大兴）当时，的最大值为（       ） A． B． C． D． 【例1-3】（2023·安徽滁州·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【一隅三反】 1．（2022·广东茂名）若a，b都为正实数且，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 2．（2023云南）若,那么的最小值是（    ） A．64 B．128 C． D． 3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 考法二 配凑法求最值 【例2-1】（2023内蒙古）已知x＞1，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．12 D．10 【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（    ） A．10 B．12 C．13 D．14 【一隅三反】 1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模）函数的最小值为（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（2023·云南）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 3．（2022·江苏）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 4．（2023北京）函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 考法三 常数替代求最值 【例3-1】（2022·安徽）已知，，，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．4 D．6 【例3-2】（2023春·湖南）已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【例3-3】．（2022·贵州毕节）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【例3-4】（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知，则的最小值是______． 【一隅三反