2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲） 一．两个实数比较大小的方法 1.作差法 ①a－b>0⇔a>b；②a－b＝0⇔a＝b；③a－b<0⇔a<b． 2.作商法 ①>1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)； ②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0) ③<1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0)． 二．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 三．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 四．一元二次不等式 1.概念：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 五．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 六．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 七．常用结论 1.倒数性质的几个必备结论 (1)a＞b，ab＞0⇒＜ (2)a＜0＜b⇒＜ (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞ (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜． 2．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则： (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0)． 一．比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． (4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论． 二．判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 三．解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 　 四．恒成立问题求参数的范围 1.一元二次不等式的恒成立问题对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式： （1）在R上恒成立； （2）在给定区间上恒成立； （3）给定参数范围的恒成立． 处理此类问题的常用方法有：①分参法；②函数法；③变换主元法． 2.一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 3.给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)函数法：若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围． (2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a． 4.给定参数范围的恒成立问题解法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 五．一元二次方程根的分布 设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)． （1）两根与0