考点13 函数与方程11种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点13 函数与方程11种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求函数的零点 考点二 确定零点所在的区间 考点三 判断函数零点个数 （一）解方程法 （二）零点存在性定理法 （三）数形结合法 考点四 已知函数零点求值 考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围 考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围 考点七 与零点相关的比较大小问题 考点八 求零点的和 考点九 嵌套函数的零点问题 考点十 函数零点的综合应用 考点十一 用二分法求方程的近似解 1. 函数的零点与方程的解 (1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 注： ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. ⑤周期函数如果存在零点，则必有无穷多个零点. ⑥对于零点存在性定理，须知满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点. 2. 理解函数零点存在定理要注意三点： ①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点. 图1 　 　图2 ②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点. 图3 　图4 ③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图4，但若该函数是单调函数，则有唯一零点. 3. 确定函数的零点（方程的根）所在的区间 确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定． 4. 函数零点个数的判断方法 （1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． （3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5. 已知函数零点所在区间求参数的取值范围 根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 6. 已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 7. 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围 已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中