专题10 概率统计之实际应用问题-【猜想与对策】2023年高考数学解答题预测与演练

专题10 概率统计之实际应用问题 命题规律 1．离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组合、概率等知识综合命题．最近几年考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质、离散型随机变量的均值、方差的性质及计算，以小题为主． 2．解答题主要有一下几种可能，一是独立考查独立事件的概率及分布列、数学期望；二是独立考查超几何分布、二项分布及数学期望；三是将几种分布与离散型随机变量的数字特征结合命题；四是概率与统计问题综合考查，如条件概率的计算与独立性假设检验结合考查；五是考查简单离散型随机变量的均值、方差以及正态分布，在解决简单的实际问题中的应用，近两年与数列或导数相结合，题目的难度较大.总体看概率统计问题在全卷中的位置，尚“飘忽”不定，整体难度有加大趋势！基本上是以实际应用问题出现. 知识技能方法 一．离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量. 2. 分布列的两个性质 ①，；②. 3．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 二. 常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布： 若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． (2)超几何分布： 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率为，，其中，且，称分布列为超几何分布列. 0 1 … m … （3）必备技能： 超几何分布描述的是不放回抽样（与两类不同元素的抽取问题的概率计算）问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．解题的关键如下： ①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散型随机变量服从的分布的类型，特别要区分超几何分布与二项分布． ②定参：确定超几何分布中的三个参数N，M，n.即确定试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的元素个数． ③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率列出分布列． ④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数值求值． (4)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表 … … … … 为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列． 三. 离散型随机变量的均值与方差 1．均值 若离散型随机变量X的分布列为 … … … … 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．． 若，其中为常数，则也是随机变量，且. 若服从两点分布，则； 2.方差 若离散型随机变量X的分布列为 … … … … 则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差． 若，其中为常数，则也是随机变量，且． 若服从两点分布，则． 3. 六条性质 (1) (为常数) (2) (为常数) (3) (4)如果相互独立，则 (5) (6) 4.利用均值、方差进行决策的方略 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．　 (1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断． (2)若两随机变量均值相同或相差不大．则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策． 四. 条件概率 1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为. 在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则. (2)条件概率具有的性质： ①； ② 如果和是两互斥事件，则． 2.全概率公式 (1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)； (2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i