专题08 导数之零点问题-【猜想与对策】2023年高考数学解答题预测与演练

专题08 导数之零点问题 命题规律 导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与数列、不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．其中涉及函数零点问题是常见类型题目之一，主要有零点的确定、零点所在区间的判断、零点个数的判断、根据零点的存在或零点个数确定参数（参数的范围）、根据零点情况证明不等式等. 知识技能方法 1．利用导数确定函数零点的常用方法 (1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）． (2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2.利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 3.零点个数问题 讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零 点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数. 4.隐零点问题（已有多个年份考查） “隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点. 我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为“隐零点”问题．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等. 预测演练 1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 (1)若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围. (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 2．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（是自然对数的底数）有两个零点. (1)求实数的取值范围； (2)若的两个零点分别为，，证明：. 3．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数. (1)若，求的极值； (2)，若函数有两个零点，且，求证：. 4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围. 5．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明函数的图象与x轴至多有两个交点． 6．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知函数. (1)若函数在处的切线斜率为，求实数的值； (2)若函数有且仅有三个不同的零点，分别设为，，. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 7．（2023·广西玉林·统考二模）已知函数． (1)设a＝0． ①求曲线在点处的切线方程． ②试问有极大值还是极小值？并说明理由． (2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围． 8．（2023·山西临汾·统考二模）已知函数. (1)设是曲线在处的切线，若有且仅有一个零点.求； (2)若有两个极值点，且恒成立，求正实数的取值范围. 9．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数 (1)判断函数的零点个数； (2)证明：当时，证明： 10．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数，，且曲线在点处的切线斜率均不小于2． (1)求a的值； (2)求证：函数在区间内存在唯一的零点． 11．（2023·河南·校联考模拟预测）设函数. (1)求的单调区间； (2)若函数有三个零点，，，且，证明：. 12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数. (1)求时，函数有两个零点，求实数的取值范围； (2)令，函数有两个零点和，且，当变化时，若有最小值(为自然对数的底数)，求常数的值. 13．（2023·湖北十堰·统考二模）已知函数． (1)若在R上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，求证在上只有一个零点，且． 14．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数，为的导函数. (1)证明：当时，； (2)判断函数的零点个数. 15．（2023·广东深圳·统考二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，函数恰有两个零点. （i）求m的取值范围； （ii）证明:. 16．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数． (1)讨论函数零点个数； (2)若恒成立，求a