理科数学（二）-2023年高考考前20天终极冲刺攻略（全国通用）

目 录 contents （二） 等比、等差数列………………………………………………………………01 数列递推公式与求和综合……………………………………………………16 外接球、截面与点线面综合…………………………………………………31 立体几何综合…………………………………………………………………63 直线与圆………………………………………………………………………89 等比、等差数列 数列是高考考察的重点知识之一，也是高中必学内容之一。课标全国卷试题是选填两道，一道与三角轮换考察的大题。一般考察等差数列、等比数列的基础概念，等差等比数列的通项及求和公式计算，考察等差数列、等比数列的性质，等差等比与函数，不等式，解析几何等知识结合，考察实际生活相融合的等差等比数列等应用。题型及内容考察灵活多变，在考察基础公式，基础数学思想的同时要求掌握相关数学内容及数学素养,能解决综合问题以及创新问题。试题考察等差数列、等比数列通项公式和前n项和计算。考察等差数列、等比数列的函数性质，考察等差数列、等比数列的实际应用.数列不等式恒成立等综合应用。 一、等差数列有关公式： (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n(n－1(,2)d＝eq \f(n(a1＋an(,2). 二．等比数列有关公式： (1)通项公式：an＝a1qn－1； (2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1(1－qn(,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.)) 三、等差数列常用结论： 若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有： (1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak； (2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列； (3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列； (4)数列{eq \f(Sn,n)}是公差为eq \f(d,2)的等差数列，其通项公式eq \f(Sn,n)＝eq \f(d,2)n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))； 四．等差数列与函数关系： (1) an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)； (2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)． 五．等比数列常用结论： 若{an}为等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则有： (1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (2)隔项等差：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)分段等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. （4）“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (5)“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (6)“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 六等比数列与函数关系： (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝ ，Sn为 型线性指数函数。 1．（2018·浙江·高考真题）已知 成等比数列，且 ．若 ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证不等式 ，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 【详解】令 则 ，令 得 ，所以当 时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意； 若公比 ，则 但 ， 即 ，不合题意； 因此 ， ，选B. 【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．（2021·浙江·统考高考真题）已知 ，函数 .若 成等比数列，则平面上点 的轨迹是（    ） A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线 【答案】C 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】由题意得 ，即 ， 对其进行整理变形： ， ， ， ， 所以 或 ， 其中 为双曲线， 为直线