第11讲 二次函数与幂函数-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第11讲 二次函数与幂函数 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象 。 ③当α<0时，幂函数的图象 。 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式： 顶点式： 零点式： (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 单调性 1、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（       ） A． B． C． D． 2、(2016全国III) 已知，，，则 A． B． C． D． 1、若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A.1或3 B.1 C.3 D.2 2、若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 3、已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____． 4、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2) 考向一　幂函数的图像与性质 例1、（1）幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为___________． （2）图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为____________． （3）已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？ 变式1、已知幂函数f(x)＝ ，若f(a＋1)＜f(10－2a)，求实数a的取值范围． 变式2、已知幂函数f(x)＝x-1 ，若f(a＋1)＜f(10－2a)，求实数a的取值范围． 方法总结：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 考向二 一元二次函数的解析式 例2、(1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0.请写出函数f(x)的一个解析式________.(只要写出一个即可) (2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________. 变式1、已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________. 变式2、(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　) A.b2＞4ac 　　　 B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 　　　 D.5a＜b 方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 考向三 一元二次函数的最值问题 例3、已知函数y＝4x2－12x＋3．当x∈R时，值域为________；当x∈[2，3]时，值域为________； 当x∈[－1，5]时，值域为________． 2．若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围． 3．求函数f(x)＝x2－2ax在区间[0，1]上的最小值． 变式1、求函数y＝ax2－2x＋3(a∈R)在区间[0，1]上的最大值． 变式2、若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围． 1、已知是奇函数，当时，，则的值是