湖南省长沙市雅礼中学2023届高三一模数学试题

雅礼中学2023届模拟试卷（一） 数学 命题人：张龚 审题人：黄启光 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上. 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. 且 D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的方向相同或者相反 B. 若，为非零向量，且，则与共线 C. 若，则存在唯一的实数使得 D. 若，是两个单位向量，且．则 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 给定一组数据：1，3，2，1，5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是（ ） A. 5，2 B. ，2 C. ，1.5 D. 5，1.5 5. 已知，则（ ） A. 1024 B. 1023 C. 1025 D. 512 6. 已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 7. 若，则当，1，2，…，100时（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 一定是实数 C. 若复数，满足．则 D. 若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数 10. 已知不恒为0的函数，满足，都有．则（ ） A B. C. 为奇函数 D. 为偶函数 11. 如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（ ） A. B. C. 过的双曲线的弦的长度的最小值为8 D. 点B到两条渐近线的距离的积为 12. 如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（ ） A. 若∥平面，则点M的轨迹长度为 B. 平面与平面ABCD的夹角的正切值为 C. 平面截正方体所得的截面多边形的周长为 D. 不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 计算：________． 14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法． 15. 函数的最小值为________． 16. 如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分別交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知正数数列，，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 在三角形ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，求BC边上高AD的最大值． 19. 斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O． （1）在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由； （2）求点到平面的距离． 20. 2023年中非经贸合作座谈会议在长沙举行，拟在某单位招募5名志愿者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等． （1）求甲部门志愿者入选人数为1人的概率； （2）求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率； （3）求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望． 21. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）当时，求证：（记）． 22. 已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由； （2）若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程． 雅礼中学2023届模拟试卷（一） 数学 命题人：张龚 审题人：黄启光