13 圆锥曲线大题综合-【黄金冲刺】考前20天高考数学极限满分冲刺（上海卷专用）

13 圆锥曲线大题综合 1．（2023·上海杨浦·统考二模）已知椭圆的右焦点为，直线. (1)若到直线的距离为，求； (2)若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求； (3)若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围. 2．（2023·上海·统考模拟预测）已知椭圆． (1)若，求椭圆的离心率； (2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值； (3)若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围． 3．（2023·上海静安·统考一模）已知椭圆：（）的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线，分别交椭圆于点，．为坐标原点． (1)求证：直线平分线段； (2)如图，设椭圆外一点在直线上，点的横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线上． 4．（2023·上海黄浦·统考一模）已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线、都过点，斜率分别为k、，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与x轴交于点N，求证：； (3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程. 5．（2023·上海崇明·统考二模）已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点． (1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值； (2)若，求的面积； (3)设直线与直线交于点，证明：三点共线． 6．（2023·上海普陀·统考二模）在xOy平面上．设椭圆：，梯形的四个顶点均在上，且．设直线的方程为 (1)若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值； (2)设，直线经过点，求的取值范围； (3)设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 7．（2023·上海静安·统考二模）已知双曲线Γ：（其中）的左、右焦点分别为（c，0）、（c，0）（其中）. (1)若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为.直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△的面积； (2)以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线Γ的离心率. 8．（2023·上海闵行·统考二模）已知O为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M． (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程； (2)若直线OM经过曲线上的点，且为正整数，求a的值； (3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：． 9．（2023·上海黄浦·统考二模）已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）. (3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍． 10．（2023·上海金山·统考二模）已知椭圆. (1)已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程； (2)已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程； (3)设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值. 11．（2023·上海长宁·统考二模）已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、. (1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程； (2)若，求线段的中点到轴的距离； (3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数. 12．（2023·上海徐汇·统考二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E. (1)当时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求的周长； (2)当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； (3)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值. 13．（2023·上海嘉定·统考二模）若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是