2023年中考数学专项复习：二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程 一、单选题 1．二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．【问题】关于的一元二次方程在内有解，求的取值范围． 【提示】如图此问题可以转化为研究函数，当时的值． 几名学生的答案如下： 甲：； 乙：； 丙：． 下列判断正确的是（  ） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．甲和丙合在一起正确 3．二次函数的部分图像如图所示．对称轴为，且经过点，下列结论：①；②若点，是抛物线上两点，则；③若，则；其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．设二次函数（a，c是常数，），已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为m，（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论： 若，则； 若时，则； 若点，，在抛物线上，，且，则； 当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 如果，，那么当时，直线与该二次函数有一个公共点，则．其中结论正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．在平面直角坐标系中，已知函数，，其中a，b是正实数，且，设，的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（    ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 7．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）．（2）．（3）．（4）若点 、点，点 在该函数图象上，则．（5）方程有两个不相等的实数根，其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，点的坐标为，顶点为，对称轴与轴交于点，则下列结论：①，②，③，④当时，在线段上一定存在点，使得为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的的整数值有4个，则或； ③若抛物线与轴交于两点，且，则或； ④当时，一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 10．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为3和1；④若点均在二次函数图象上，则；⑤（m为任意实数）． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③方程的两根分别为；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论有_____． 12．如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是______． 13．二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点其对称轴为直线下列结论①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，正确的有______ 填序号 14．已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________． 15．已知抛物线（a，b，c是常数，），且，．下列四个结论： ①对于任意实数，恒成立； ②若，则不等式的解集是； ③一元二次方程有一个根； ④点，在抛物线上，若，则当时，总有．其中正确的是__________．（填写序号） 三、解答题 16．平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． (1)求点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若，有最大值为3，求的值； (3)已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围． 17．如图，已知：点是直线：上的一动点，其横坐标为（是常数），点是抛物线：的顶点． (1)求点的坐标；（用含的式子表示） (2)当点在直线运动时，抛物线始终经过一个定点，求点的坐标，并判断点是否是点的最高位置？ (3)当点在直线运动时，点也随之运动，此时直线与抛物线有两个交点，（，可以重合），，两点到轴的距离之和为． ①求m的取值范围； ②求d的最小值． 18．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A、B两点．已知，且． (1)当时，试求出b与c的关系式； (2)若，比较c与的大小，并说明理由； (3)该抛物线的顶点为点P，与y轴交于点D，经过P、D两点的直线交x轴于点E．当，且时，请求出面积S的取值范围． 19．二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． (1)求该二次函数解析式； (2)如图1，第一象限内该二次函数图象上有一动点，连接，求面积的最大值； (3)