2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）

2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题） 1．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交直线于点，以为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？不存在，则说明理由；若存在，请求出点的坐标． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线轴于点D．交于点E．过点P作的平行线，交y轴于点M． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)在点P的运动过程中，求使四边形为菱形时，m的值； (3)点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线上方的抛物线上时，求的最大面积，并直接写出此时P点坐标； (3)若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由． 4．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求； (2)求对称轴方程； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？ 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； (3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 7．已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在上方的抛物线上有一动点． ①如图，当点运动到某位置时，以线段，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点的坐标； ②如图，过动点作于点，求线段长的最大值． 8．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方的抛物线上一动点，连接交于D，连接、、． ① 当点P的坐标为时，求的面积； ② 记、的面积分别为、，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，将直线向下平移个单位，与抛物线交于点M、N，分别过点M、N作于点E，于点F，当矩形是正方形时，请直接写出m的值． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求A，B两点坐标； (2)过点A作交抛物线于D，点E为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的N点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 11．如图1，抛物线与x轴交于A，B．两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线经过点A，C． (1)求直线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点D，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）问取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，点M为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确