必刷04 高考热点解答题-2023届高考数学《考点·题型·密卷》三轮冲刺精讲精练（新高考地区专用）

必刷04：高考热点解答题 1．已知内角所对的边长分别为. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小； （2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围. 【详解】（1）由余弦定理得，即， 所以，又，则. （2）法一：为锐角三角形，，则， 所以，可得， 又，则，故 由，即而， 所以，故面积的取值范围为. 法二：由，画出如图所示三角形， 为锐角三角形， 点落在线段（端点除外）上， 当时，， 当时，， . 2．党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理．东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人，其中有22人从事采桑工作，另外88人没有从事采桑工作． (1)为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调查，得到以下数据： 采桑 不采桑 合计 患皮炎 4 未患皮炎 18 合计 25 ①请完成上表； ②依据小概率值的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？ (2)为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查，将其中采桑的人数记作，求的分布列和期望． 附：，其中， 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】(1)① 填表见解析；②认为患皮炎与采桑之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005 (2)分布列见解析；期望为 【分析】(1)根据已知条件可以填出表格中的内容，代入公式即可求得，根据表格进行判断即可； (2)用表示抽取的4人中采桑的工作人员人数，的取值为：2，3，4，分别算出概率，列表格即可求出数学期望. 【详解】（1）① 采桑 不采桑 合计 患皮炎 4 2 6 未患皮炎 1 18 19 合计 5 20 25 ②零假设为：患皮炎与采之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得到, 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为患皮炎与采桑之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （2）用表示抽取的4人中采桑的工作人员人数，的取值为：2，3，4, ， ， 随机变量X的分布列为： 2 3 4 则． 3．已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，， (1)求的方程； (2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，根据得到，再结合焦半径公式即可得到，从而得到. （2）根据题意得到，设直线的方程为，，，与抛物线联立得到，，根据斜率公式得到，从而得到，即可得到直线过定点，再根据当时，点到直线距离最大求解即可. 【详解】（1）如图所示： 由题意可知，因为，， 由，，可得， 由抛物线的定义可知，，解得． 则的方程为. （2）如图所示： 在抛物线上，所以， 设直线的方程为，，， 将代入，得 则， ，同理 整理得，， 直线的方程为，所以直线过定点. 当时，点到直线距离最大， 且最大距离为， 经检验符合题意. 4．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得出，结合，即可得出答案； （2）由得出，由余弦定理得出，再由及得出，结合三角形面积公式，即可得出面积的范围． 【详解】（1）因为， 所以． 由余弦定理得． 因为， 所以． （2）由及正弦定理，得， 所以， 由余弦定理得，， 所以 当且仅当时，等号成立， 因为， 所以，则， 所以， 因为的面积为， 所以面积的取值范围是． 5．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程. （2）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围，我们也可以利用分类讨论求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围. 【详解】（1）当时，． 故切线的斜率，又切点为 切线方程为，化简得． （2）法1：当时，恒成立，故， 也就是，即， 由得，令， 则， 令，则， 可知在单调递增，则，即在恒成立，． 故在单调递增，所以，故在恒成立． 所以在单调递增，而，所以，故． 法2：因为当时，恒成立，故， 由， 令，得或， ①当，即时，在上恒成立， 在上单调递减，， 不合题意，合题意． ②当，即时，