精品解析：四川省成都列五中学2026-2027学年高三上学期阶段性考试（一）数学试题

成都列五中学2026-2027学年度（上）阶段性考试（一） 高2024级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求两个集合的交集即可. 【详解】解：由数轴可得，故选择A． 【点睛】本题考查集合的运算，基础题注意数形结合思想的应用. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求解两个不等式，即可得到结果. 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】设甲、乙获一等奖的概率分别是，不获一等奖的概率是，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：. 故选：D 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 5. 已知函数，满足对于任意实数，都有成立，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知函数在上单调递增，结合二次函数、指数函数的性质，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对于任意实数，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 6. 已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出，再利用“1”的妙用即可得解. 【详解】解：函数中，由可得，，即函数的图象恒过定点， 若点在直线上，即有， 于是得， 当且仅当时取“=”， 所以时，的最小值为. 故选：D 7. 双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，求得渐近线方程，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，可得， 可得，所以双曲线的渐近线方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆相交，符合题意， 所以. 故选：D. 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析易得在上单调递增，，进而结合单调性解不等式即可求解. 【详解】的定义域为，所以在上单调递增， 而， 所以， 由， 则，由的单调性可得， ，即，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定为“，有” C. 函数值域为 D. 若函数的定义域为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】依次利用同一函数的判定规则、全称命题的否定规则、换元法求函数值域、含参二次式恒成立的条件判断各选项即可. 【详解】对于A，，与的对应关系不一致， 所以函数与不是同一个函数，故A错误； 对于B，由全称量词命题的否定为存在量词命题， 得命题“，”的否定为“，有”，故B正确； 对于C，的定义域为， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以函数值域为，故C正确； 对于D，若函数的定义域为， 则关于的不等式在上恒成立， 当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，，故D错误. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 把6个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有10种方法 B. 已知，则 C. 的展开式中x3的系数为12 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙不相邻共有12种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用隔板法即可求得结果.对于B：利用赋值法，表示出和，可得正误；对于C，由二项式定理与多项式乘法， 可得正误；对于D，利用不相邻问题用插空法，可得正误. 【详解】对于A：把6个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，有5个空，选择3个放入隔板即可,，故A正确； 对于B：令，得，令，得，故，故B错误； 对于C：因为，的展开式的通项。 则含的项为，所以系数为，故C正确； 对于D：先给丙丁全排：，再对甲乙插空即：,故共种排法，故D正确； 故选：ACD 11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是以周期为4的函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义可判断AB，利用赋值法结合对数运算判断C，根据周期性判断D. 【详解】由为奇函数得， 即，所以的图象关于点中心对称，故A正确； 因为为偶函数得， 用替换可得， 在中将替换为，得， 进而有，则， 所以的周期为4，故B正确； 在中令可得，所以， ，，由， 即，解得，进而，所以当时，， 且， 所以，其中，所以， 所以. 在中令可得，又， 所以， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】原式 13. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 则函数的开口向上，对称轴为， 函数即为， 由对数函数的性质可得为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于等于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 14. 抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，则________，________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据n次独立重复试验事件A发生的概率为，构造二项式应用赋值法分别计算即可. 【详解】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能发生1次，； ， 抛掷n次后事件A发生， 抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为 当为偶数时，， 当为奇数时，， 构造二项式 ， 当为奇数时， 令， ， 令， ， 两式作差，得， 可得， 当时， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 数列满足，，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）设为的前项和，令，求数列的最大项． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求出，的通项公式； （2）通过作差法判断的正负确定数列单调性，进而找到最大项. 【小问1详解】 由，，得是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 由，，得是以为首项，为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 ， ， ， 所以当时，；当时，． 由此可得，数列的最大项为． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）连接，交于点，连接， 因为，，， 所以，则， 又因为，所以，所以， 又因为平面，而平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，由相似比与已知比例得，进而根据线面平行的判定即可证明； （2）先依题意建立空间直角坐标系，设，，从而得到， 再求出平面的一个法向量，再根据线面所成角的正弦值等于该直线方向向量与平面法向量夹角的余弦的绝对值求出的值，进而即可求得长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意可得，，两两垂直， 则以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由，，，且， 则，，，，， 则，， 设，，得，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得，或（舍去）， 所以，，所以线段的长为． 17. 某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了A，B两类实践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有A任务合格后，才能参与B任务的考核，两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅A任务合格评为良好，A任务不合格直接评定为不合格．已知学生甲完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为；学生乙完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为，且甲、乙两人完成任务的结果相互独立． （1）求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率； （2）在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为优秀的概率； （3）从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为：不合格为0分，良好得4分，优秀得8分，设选取学生的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3） X 0 4 8 P 【解析】 【分析】（1）由条件概率的乘法公式直接计算即可； （2）利用条件概率公式直接计算； （3）易知X的可能取值为0，4，8，分别计算出甲乙两人得到相应分数的概率，即可得出分布列和期望. 【小问1详解】 设事件“学生甲A任务合格”，事件“学生甲B任务合格”， 由题意可知，甲评定为优秀需均合格， 由条件概率的乘法公式可知． 【小问2详解】 设事件“甲、乙两人中至少有一人评定为优秀”，事件“学生甲评定为优秀”，CD表示“甲优秀且甲乙至少一人优秀”，即甲优秀， 故，对立事件“甲乙两人都不优秀”； 由(1)可知甲不优秀的概率为， 乙优秀的概率为，乙不优秀的概率为， 由相互独立事件概率公式， 因此； ． 【小问3详解】 X的可能取值为0，4，8， 学生甲得分的概率为P（甲得0分）； P（甲得4分）； P（甲得8分）； 学生乙：得分的概率为：设事件“学生乙A任务合格”，事件“学生乙B任务合格”， P（乙得0分）； P（乙得4分）； P（乙得8分）． 由于从甲、乙随机选取一人，则选中甲、乙的概率为， ； ； ． 则X的分布列为 X 0 4 8 P 则． 18. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. （1）求的值； （2）若，求的方程； （3）记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标为，求得； （2）由（1）得抛物线的方程，设直线的方程为，并与抛物线方程联立，求出点的坐标，即可得参数，从而得到直线的方程； （3）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得坐标关系，进而用点坐标表示；用坐标表示出点坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，得坐标关系，进而可用表示，利用基本不等式即可得的最小值. 【小问1详解】 因为是的焦点，所以，得. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的方程为. 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 因为，所以. 由，解得，， 则的方程为. 【小问3详解】 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 由为轴上异于的点，且，得， 则直线的方程为， 即.设. 由得， 则，， 则. 由，得. 又， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 19. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有3个零点，求实数的取值范围； （3）当时，对任意的，满足．证明：． 【答案】（1） （2） （3）先证：当时， 令， 则， 当时，且，所以． 又，故 而 又因为、． 因此 对分别应用上式并求和， 得， 由，得 故原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）先求切点函数值、再求该点导数值作为斜率，最后写出直线方程即可； （2）由判断单调性，再用极大值、极小值的符号确定3个零点的条件； （3）先证明时的单变量不等式，再对各求和． 【小问1详解】 由题意得：. ， 切线斜率为：， 切点，斜率，点斜式：， 整理切线方程：. 【小问2详解】 由， 若，则，故只有一个零点，至多有2个零点，不合题意． 若，则函数单调递增，也不可能有3个零点． 因此只需考虑． 此时，且或， 则当时，，当时，，当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又时，时， 故要有3个零点，需且只需 计算得 因为，所以，故， 又， 综上，. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都列五中学2026-2027学年度（上）阶段性考试（一） 高2024级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则　　 A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 5. 已知函数，满足对于任意实数，都有成立，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定为“，有” C. 函数值域为 D. 若函数的定义域为，则 10. 下列说法正确的是（    ） A. 把6个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有10种方法 B. 已知，则 C. 的展开式中x3的系数为12 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙不相邻共有12种排法 11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是以周期为4的函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 13. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 14. 抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，则________，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 数列满足，，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）设为的前项和，令，求数列的最大项． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 17. 某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了A，B两类实践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有A任务合格后，才能参与B任务的考核，两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅A任务合格评为良好，A任务不合格直接评定为不合格．已知学生甲完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为；学生乙完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为，且甲、乙两人完成任务的结果相互独立． （1）求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率； （2）在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为优秀的概率； （3）从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为：不合格为0分，良好得4分，优秀得8分，设选取学生的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 18. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. （1）求的值； （2）若，求的方程； （3）记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 19. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有3个零点，求实数的取值范围； （3）当时，对任意的，满足．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $