专题09 奇偶性、周期性及对称性-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题09 奇偶性、周期性及对称性 考点一 判断函数的奇偶性 考点二 根据奇偶求解析式 考点三 利用奇偶求参数 考点四 利用奇偶求函数值及解不等式 考点五 函数的周期性 考点六 函数的对称性 考点七 单调性与奇偶性的综合问题 考点八 奇偶性与周期性的综合问题 考点九 对称性，周期性与奇偶性的综合问题 一、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 二、函数的周期性 1．周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．函数周期性的常用结论 设函数，. ①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为； ③若，则函数的周期为 三、函数的对称性 1．函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 2．不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 考点一 判断函数的奇偶性 例1．（2022秋·高一单元测试）（多选）若正比例函数的图象经过点，则函数在定义域上是（       ）. A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】AC 【分析】根据所给条件结合正比例函数的意义，求出正比例函数的解析式再探讨其性质即可得解． 【详解】因是正比例函数，设，而其图象过点， 即，解得，于是得，且定义域为R， 显然是R上增函数，C正确； ，则为R上奇函数．A正确． 故选：AC． 例2．（2023春·云南普洱·高三校考阶段练习）（多选）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】因为满足，所以是偶函数； 因为满足，所以是偶函数， 因为满足，所以是奇函数； 因为满足，所以是偶函数； 故选：ABD． 例3．（2023·辽宁丹东·统考一模）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义逐项判断即可. 【详解】函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故A不符合； 函数的定义域为，则，故该函数为奇函数，故B不符合； 函数的定义域为，则，故该函数为偶函数，故C符合； 函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故D不符合. 故选：C. 例4．（2023春·广东佛山·高三佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性的定义结合三角函数的性质即可求解. 【详解】对于A，故A错误， 对于B, 故B正确， 对于C，故C错误， 对于D，故D错误， 故选：B 考点二 根据奇偶求解析式 例5．（2022秋·高三单元测试）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)画出的图象； (3)求该函数的值域． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性求解函数解析式； （2）得到函数的单调性及特殊点的函数值，画出函数图象； （3）在（2）的基础上，数形结合得到函数值域. 【详解】（1）当时，，故， 因为是定义在R上的偶函数，所以， 所以， 综上，； （2）当时，， 故此时函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为为偶函数，故在上单调递减，在上单调递增， 且，， 画出函数图象如下： （3）由（2）可知看出函数的值域为. 例6．（2022秋·高一课时练习）已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数性质求上的解析